[Deal.ii] [lecture 4] [FEM 구현]

포아송 방정식을 예를 들어서 FEM을 구현해볼 생각입니다.

우선 strong form으로 식이 주어져 있는데 

왼쪽항에 test function을 곱해줌으로써 weak form으로 만들 수 있습니다. 

위의 식의 솔루션은 무한 차원 함수 공간의 함수(infinitedimensional function space) u (x)입니다. 

컴퓨터는 무한히 많은 계수(coefficients)를 가진 객체(objects)를 처리 할 수 없습니다.

 

finite dimensional function을 찾아보면 

위와 같은 Approximate value를 얻을 수 있습니다. 

물론 Uj는 원래 PDE의 u와 최대한 같아지게 만드는것이 우리의 목표입니다.

 

갤러킨 메소드

이 방법은 유한 요소 방법의 기본 기반 인 n 개의 계수에 대한 n 개의 방정식을 제공합니다.

H는 J를 1에서 n까지 합하는 것이 아니라 i를 1에서 n까지 합한 것입니다. 
물론 X의 UI Phii는 정확히 이 인덱스 I 또는 J를 솔리드 인덱스로 합하기 때문에 
동일한 객체가 일부 아래에만 표시되지만 J보다 합으로 쓰면 편리합니다.
 이렇게하면이 객체를 여기에 연결합니다. 여기 왼쪽에는 J에 I 곱하기 합한 것과 같은 것이 있습니다.
이것은 선형 시스템으로 이것을 작성하는 데 필요한 정확한 방법이 될 것입니다.
당연히 인덱스를 사용할 수있었습니다. 여기와 여기 인덱스 J하지만 다시 t로 이어집니다
그는 내가 정말로 원하는 행렬의 조옮김을하기 때문에 여기에있는 인덱스 J를
사용하는 습관을 들이고 Phi라고 부르는 테스트 함수를 다시 사용하면 편리하다는 것이 밝혀졌습니다.

실용적인 질문 1 : Basis function정의하는 방법은 무엇입니까?

답 : 유한 요소 방법에서는 다음 개념을 사용하여 수행됩니다.

도메인을 메시로 세분화
메시의 각 셀은 참조 셀의 매핑입니다.
참조 셀에 대한 기본 함수 정의
각 모양 함수는 전역 메시의 자유도에 해당합니다.

 

삼각형으로 스트레칭하기 위한 선형적 매핑이 존재하기 때문에 각 삼각형이

내 망사의 셀이 하는 일을 각각 기준 셀의 매핑으로 한다. 

 

Answer: In the finite element method, this is done using the following concepts:

● Subdivision of the domain into a mesh

● Each cell of the mesh is a mapping of the reference cell

● Definition of basis functions on the reference cell

● Each shape function corresponds to a degree of freedom on the global mesh

도메인을 메시로 세분화 
메시의 각 셀은 참조 셀의 매핑입니다. 
참조 셀에 대한 Basis function 정의
각 모양 함수는 전역 메시의 자유도에 해당합니다

 

Concepts in red will correspond to things we need to implement in software, explicitly or implicitly.

빨간색으로 표시된 개념은 명시 적으로 또는 묵시적으로 소프트웨어에서 구현해야하는 사항에 해당합니다.

 

 

 

 

참조 셀에 통합하면 매핑의 야 코비 행렬의 행렬식도 얻습니다.

여기에 de mapping의 Jacobian의 행렬식의 절대 값을 얻습니다. 

reference cell by a sum over quadrature points and so we have to 

evaluate this whole integral that we have here at quadrature points X cube and sum over these

 

 

 

 

 

 

우리는 AU=F의 선형 시스템을 풀기 위해서 위와 같은 종류의 다양한 솔버가 필요하다.

 

시각화, 에러 추정, quantities of interest 의 평가 등등 이러한 스텝은 postprocess라고 부른다. 

솔루션을 그저 푸는것이 아니라 위와 같은 작업을 하기 위한 것이 우리의 목표라고 할 수 있다.

 

 

위의 문서를 모듈이라고 부른다. 위의 메뉴얼은 클래스와 함수의 모음입니다.

이 플로우 차트는 FEM을 도출하는 수학적인 모델에 따라서 제작되었다.

 

 

요약:
● FEM에 대한 수학적 설명을 통해 소프트웨어 구성 요소로 표현해야하는 개념을 식별했습니다.
● 다른 구성 요소는 PDE의 수치 솔루션으로 수행하려는 작업과 관련됩니다.
● 다음 몇 개의 강의에서는 이러한 개념의 소프트웨어 실현을 보여줍니다.