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1d에 이어서 2d도 FEM으로 변환해보자. 2D-FEM 진행 순서는 아래와 같다. 지배 방정식 generic form Special form Dicretization 보간 함수 조건 Linear / bilinear을 기반으로하는 보간 함수를 만들고 라그랑주 다항식을 기반으로 한 고차 요소를 다룬다. 위와 같이 one element에 대한 행렬식을 얻을 수 있다.

공학적인 문제는 미분방정식을 통해서 모델링한다.​ 하지만 공학수학 시간에 배웠듯이 ​ 우리가 손으로 풀 수 있는 미분방정식은 극히 드물다.​ 도메인은 우리가 해석하고 싶은 영역이며 ​ 이 도메인을 잘게 자른 것이 하부 도메인 혹은 ​ 유한요소(finite elemet)라고 부른다.​ 보간 함수 혹은 SHAPE FUNCTION으로 근사해(approximate solution)를 구하는데 보간 함수는 반드시 polynomial의 complete set이어야 한다. Approximate solution은 INTERPOLATION function 혹은 SHAPE function의 집합에 의해 요소 내부에 표현된다. (nodal value와 보간함수의 곱으로) residual은 편미분 방정식의 모든 항을 한쪽으로..

Coordinate Transformation 한국말로는 '좌표변환'이라고 할 수 있는데 Direct approach로 푸는 방법은 너무 복잡하고 비논리적이라고 생각하여 local coordinate system에서 element를 만들어서 global로 갈 때는 coordinate transformation을 적용하는 새로운 방법입니다. y방향의 displacement인 v를 완전히 배제시킴으로써 문제를 심플하게 만들어주는것 입니다. One-dimentsional 문제에서 two-dimentsional로 바뀌려면 좌표변환(coordinate transformation)을 해야 합니다. directional cosine matrix를 만들어 주는 겁니다. 이렇게 하여 element stiffness ma..

Direct approach Direct approach는 여러 가지 장점이 있습니다. 우선은 쉽습니다. 또한 physics 기반으로 되어 있습니다. 단점은 복잡한 문제에 적용하기 어렵다는 것입니다. 그런데 이러한 approach를 왜 하느냐? 그 이유는 교육적인 목적으로 하는 것입니다. '이것을 통해 사람들이 FEM을 생각할 수 있었겠구나' 하는 유추를 할 수 있는 것입니다. 실질적으로 요즘에는 direct approach는 쓰이지 않습니다. 예제를 시작하기 전에 전체적으로 한번 보도록 하겠습니다. Example 1 첫 번째 예제로 스프링 시스템을 살펴 보겠습니다. 선형 스프링 시스템(Linear spring system), 우리가 누구나 다 아는 F=kx입니다. 그런데 스프링이 여러 개가 붙어 있습니..

FEM의 전체적인 흐름 step 1~ step 2 Weak formulation 을 통해 FEM을 하기 위한 Governing equation 을 바꾸는 절차가 있습니다. step 3 풀고자 하는 문제에 대해 각각의 Element로 Discretization 을 하는 절차가 있습니다. step 4 각각의 Element 안에서 Interpolation(보간) 해야 하는데, 이를 통해 constant, linear 등 방식 중에서 어떤 방식을 사용하는지를 결정합니다. step 5 각 Element 에서의 Weak formulation 에 대해 Numerical integration 을 진행합니다. 여기까지 각 Element 에서의 작업은 끝납니다. step 6 Global assembly 를 진행하고 Sol..

자막의 시작.끝으로 이동 연속체역학과 유한요소해석 (포항공과대학교 박성진 교수) 7_1 오늘부터 본격적으로 FEM에 대해 공부하도록 하겠습니다. 먼저 간단한 개요부터 알아보도록 하겠습니다. 우선 수치해석(numerical method)을 보시면 다음과 같이 크게 세 경우가 있습니다. 현재 우리가 배우는 것은 연속체 역학(co 수치해석의 종류 연속체 역학(continuum mechanics) 먼저 역학과 관련하여 연속체 역학을 기초로 한 수치해석이 있습니다. Grain size or mseoscale 그 다음 grain size 나 세포 같은 mesoscale에 대하여 메쉬(mesh)를 만들지 않고 수행하는 부분이 있습니다. 이러한 방법들에는 discrete element method 와 hybrid pa..

inner product space는 L2 space라고도 합니다. u의 제곱은 두 개의 u를 inner product한 것과 같기 때문에 L2 space라고 부른다. Hilbert space Hilbert space는 L2 space에 complete 조건이 추가된것이다. Hilbert space의 장점 Vector를 예로 들면, x, y, z의 combination을 통해 모든 vector space를 만들어 낼 수 있습니다. 따라서 좌표라는 개념이 되고 이 3값의 combination으로 모든 point를 찍을 수 있습니다. i, j, k라는 orthonormal basis를 하면, 이때는 ortho는 직각을 뜻하며, normal은 크기가 1이라는 것을 의미합니다. orthonormal basis ..

위의 강좌를 참고하여 게시글을 만들었으며 모든 저작권은 포항공과대학교 박성진 교수님에게 있음을 밝힙니다. 순전히 학업적인 이유에서 작성하였으며 문제시 삭제하겠습니다. Overall Structure of Numerical Analysis Lecture 5-1-1-1 수치해석을 하기 위해서는 기본적으로 governing equation이 필요합니다. 더보기 첫 번째 시간인 오늘은 numerical method의 기본에 대해 알아보도록 하겠습니다. 수치해석을 하기 위해서는 기본적으로 governing equation이 필요합니다. Governing equation은 12개가 있는데, 먼저 conservation law에 mass conservation, energy conservation, moment co..