수학스터디[확률통계]확률변수

Gambler's Ruin(도박꾼의 파산): A와 B 두 명의 도박꾼이 매 라운드 $1씩 걸고 도박을 한다. 이긴 사람은 상대방의 $1을 가져가고, 둘 중 한 명이 가지고 온 돈이 바닥날 때까지 이 과정을 반복한다

그렇다면 ,

 

이 게임은 영원히 진행될까 ? 아닐까?

 

 

문제풀이 전략: 첫 단계에서 조건을 세운다

 

정의:

p의 확률로 A가 1달러를 더 얻고, q의 확률로 1달러를 잃는다.
0, N은 흡수상태(absorbing state)라 하여, 게임 종료를 나타낸다.

P(i) : A가 i달러로 게임을 이길 확률

 

이 문제의 경우에는 특정 수를 정하고 생각하기 보다는 일반적인 경우를 찾는것이 더 쉽다.

 

P(i) = p * p(i+1) + q * P(i-1)

 

guessing을 통한 풀이

 

Pi=xi라 추측을 하고 이형태의 해를 찾는다.

 

xᶦ = p xᶦ⁺¹ + q xᶦ⁻¹

 

이 방정식의 한해는 x=0일때이다

 

하지만, 이 해는 경계조건을 만족하지 않습니다.

 

x=!0 일떄 의 해를 보도록 하겟습니다.

 

p x² - x + q = 0이된다.

 

x = (1± √1-4pq)/2p 가된다.

 

Q=1-p가 되고, 4p² - 4p + 1가된다.

 

x = 1아니면 q/p가 된다     

 

 

두 해가 다른경우  일반해는 특수해의 선형조합이기 때문에 아래와 같은 식이 성립합니다.

p​i​​=A⋅1**​**i​​+B⋅(​p/​​q​​)**​i​​  (p!=q)

여기에 조건 p​0​​=0, p​N​​=1 을 대입하면, 

p0 = A+B , p​0​​=A+B=0   B=-A→B=−A 

pN = A + (​p/​​q​​)**N = A(1-(q/p)**N)

 

(p!=q)

x=q/p 라고 놓고 x->1의 극한을 살펴보았을 때,

 

ff

d

Pi=xi라 추측을 하고 이형태의 해를 찾는다.

 

xᶦ = p xᶦ⁺¹ + q xᶦ⁻¹

 

이 방정식의 한해는 x=0일때이다

 

하지만, 이 해는 경계조건을 만족하지 않습니다.

 

x=!0 일떄 의 해를 보도록 하겟습니다.

 

p x² - x + q = 0이된다.

 

x = (1± √1-4pq)/2p 가된다.

 

Q=1-p가 되고, 4p² - 4p + 1가된다.

 

x = 1아니면 q/p가 된다     

 

 

두 해가 다른경우  일반해는 특수해의 선형조합이기 때문에 아래와 같은 식이 성립합니다.

p​i​​=A⋅1**​**i​​+B⋅(​p/​​q​​)**​i​​  (p!=q)

여기에 조건 p​0​​=0, p​N​​=1 을 대입하면, 

p0 = A+B , p​0​​=A+B=0   B=-A→B=−A 

pN = A + (​p/​​q​​)**N = A(1-(q/p)**N)

 

(p!=q)

x=q/p 라고 놓고 x->1의 극한을 살펴보았을 때,

 

ff

d

 

 

​N

 

 

결론적으로 이러한 해를 구할수 있게 됩니다.

 

 

그럼 , 이게 무슨 뜻인가?

 

i = N-i 라고 하겠습니다.

P = 0.49 라 놓겠습니다.

이는 , A,B 즉 하우스와 플레이어 가 같은 돈을 가지고 시작함을 말합니다.

N=20 ->  P(i) = 0.40

N =100-> P(i) = 0.12

N = 200 -> P(i) = 0.02

 

하우스와 같은 돈을 가지고 시작하고, 1%정도로만 불공평한 게임이라고 해도 게임을 계속하다 보면 이길 확률이 매우 적어지게 된다. ('도박꾼의 파산')

 

 

dddd확인할 점: 게임이 끝나지 않고 영원히 계속될 확률이 있는가?

게임이 공평한 상황에서 (p = q) B가 (N-i 달러를 갖고) 이길 확률은  N​​//N−i​​ 이다.

i/N + N-i/N = 1 이므로 게임이 계속될 확률은 0이다.

 

 

 

확률변수 : 표본공간 S부터 실수 체계 R로 '맵핑' 하는 함수

 

 

 

 

EX)베르누이 확률변수

X가 0(실패), 1(성공) 두 가지의 값만 가질 수 있으며,

P(x=1)=p,P(x=1)=p,  P(X=0) = 1-pP(X=0)=1−p 일 때

XX는 Bernoulli(p)Bernoulli(p) 분포를 따른다고 한다.

 

 

예시) 이항(Binomial) 확률변수

n번의 독립적인 베르누이(p) 시행에서 성공 횟수의 분포는 Bin(n,p)Bin(n,p) 를 따른다고 한다.

• 이항확률변수의 확률질량변수(PMF):  (P(X=k)=nkP(X=k)=(​k​n​​)pk(1−p)n−kp​k​​(1−p)​n−k​​)
• 이항확률변수의 특징:  X~ Bin(n,p),  Y ~Bin(m,p)  일 때,  X+Y ~ Bin(n+m,p) 를 따른다.

 

 

확률분포를 해석하는 방법

 

1.)의미

n개의 독립적인 시행이 있고 , 각 시행의 결과가 성공 또는 실패일 때

이항분포는 성공한 횟수이다.

X를 n개의 독립적인 시행에서 성공한횟수라 생각할 수 잇다.

각 시행이 독립적이야 한다는건 중요하다.

매개 변수 p의 베르누이 시행 : 성공또는실패 결과를 p의 확률로 갖는 시행

성공: 우리가 원하는대로 정의

실패로 정의할수도 있고 , 실패를 성공으로 정의할수도있고

중요한 것은 각시행의 결과는 성공 또는 실패이지 둘다일수는 없다.

n개의 독립적인 시행이 있고 , 각 시행의 결과가 성공 또는 실패일 때

이항분포는 성공한 횟수이다.

X를 n개의 독립적인 시행에서 성공한횟수라 생각할 수 잇다.

각 시행이 독립적이야 한다는건 중요하다.

매개 변수 p의 베르누이 시행 : 성공또는실패 결과를 p의 확률로 갖는 시행

성공: 우리가 원하는대로 정의

실패로 정의할수도 있고 , 실패를 성공으로 정의할수도있고

중요한 것은 각시행의 결과는 성공 또는 실패이지 둘다일수는 없다.

 

 

2.지시확률변수

 

지시확률의변수의 합의 꼴로 해석

X를 X₁ + X₂ + ... + Xn 으로 생각할 수 있다는 점이죠

 

Xj는 j번쨰 실행이 성공일떄 1이다.아닌경우에는0이다.

지시확률변수라고불리는이유는 j번쨰 시행이 성공이었는지 실패였는지를 알려주기 때문이다

이공식이 의미하는바는 성공할떄마다 1을더하고, 실패하는 경우를 0을 더하라는 뜻

우리가 한건 조금 복잡한 분포를 0과1같이 매우 간단한 수들의 합으로 만든 것

          

X1에서부터Xn까지 모두 독립적이다.

 

이 의미는 시행이 독립적이고, 확률 변수들이 각시행의 지표라고 가정했기 때문에

각 확률변수는 독립이다

동일하게 분포되었다는 X가 같은 분포를 가진다는 뜻

X1 ,, Xn는 모두Bern(p)이다.

지시확률의변수의 합의 꼴로 해석

X를 X₁ + X₂ + ... + Xn 으로 생각할 수 있다는 점이죠

 

Xj는 j번쨰 실행이 성공일떄 1이다.아닌경우에는0이다.

지시확률변수라고불리는이유는 j번쨰 시행이 성공이었는지 실패였는지를 알려주기 때문이다

이공식이 의미하는바는 성공할떄마다 1을더하고, 실패하는 경우를 0을 더하라는 뜻

우리가 한건 조금 복잡한 분포를 0과1같이 매우 간단한 수들의 합으로 만든 것

          

X1에서부터Xn까지 모두 독립적이다.

 

이 의미는 시행이 독립적이고, 확률 변수들이 각시행의 지표라고 가정했기 때문에

각 확률변수는 독립이다

동일하게 분포되었다는 X가 같은 분포를 가진다는 뜻

X1 ,, Xn는 모두Bern(p)이다.

3.PMF

확률질량함수는 단순하게 X가 특정값을 가질 확률을 뜻한다.

이항분포의 확률질량함수는 nCk × pᵏ × q⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ 이고

확률질량함수는 단순하게 X가 특정값을 가질 확률을 뜻한다.

이항분포의 확률질량함수는 nCk × pᵏ × q⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ 이고

PMF, CDF

 

CDF

F(x) = P(X<=x)

PMF

F(X) = P(X=x)

 

PMF는 이산확률변수에 대해서만  정의됩니다.

이산확률변수는 정수값을 가지는 확률변수라 생각하면 됩니다.

 

하지만 , 일반화하자면 가능한값들이 정수가 되어야할 필요는 없다.

열거할 수 있어야 한다.  

 

 

누적분포함수를 사용하는 이유는 더 일반적이기 때문입니다.

 

누적분포함수는 모든 확률변수에 적용할 수 있습니다.

 

이항분포의 합

1.)의미

X+Y를 수학적으로 얘기하면 두함수의 합이다.

두함수를 합하기 위해서는 같은 정의역을 가져야한다.

 

두 함수는 같은 표본공간을 가지므로 더할 수 있다.

X+Y를 수학적으로 얘기하면 두함수의 합이다.

두함수를 합하기 위해서는 같은 정의역을 가져야한다.

 

두 함수는 같은 표본공간을 가지므로 더할 수 있다.

 

2.)지시확률변수

X1 + .. Xn 으로 두었다.

Y를 Y1 + Y2 .. Ym으로 둔다.

이는 단순히 n+m개의 독립적인 베르누이 P확률변수의 합이다.

식에 따르자면 n개의 독립적인 베르누이 p 확률변수를 합한 것이 이항변수Bin(n,p)이다

n+m개의 확률변수를 합하므로 Bin(n+m,p)가 된다.

X1 + .. Xn 으로 두었다.

Y를 Y1 + Y2 .. Ym으로 둔다.

이는 단순히 n+m개의 독립적인 베르누이 P확률변수의 합이다.

식에 따르자면 n개의 독립적인 베르누이 p 확률변수를 합한 것이 이항변수Bin(n,p)이다

n+m개의 확률변수를 합하므로 Bin(n+m,p)가 된다.

3.PMF

 

X=j라는 조건으로 확률을 나눠서 계산하겠다.(LOT) 

X,Y는 독립이므로 X가 Y에 영향을 주지 못한다.

 

X=j라는 조건으로 확률을 나눠서 계산하겠다.(LOT) 

X,Y는 독립이므로 X가 Y에 영향을 주지 못한다.

초기하분포 vs 이항분포

 

예제 1) 5장의 카드를 뽑을 때, 그 중 에이스 카드 수

 

 

예제2)

 

위 예제 3개 모두 표본에서  추출후 복원을 하지 않는 추출이여서 이항분포와는 다르다.

 

이러한 확률분포를 초기하분포라고 부른다.

 

 

→ 표본공간이 충분히 커서 복원 여부가 큰 차이가 나지 않을 때 초기하분포는 이항분포에 근사한다.

 

 

https://freshrimpsushi.tistory.com/893

전체확률의 법칙?==>

베르누이 확률 변수는 0, 1 두 가지 값 중 하나만 가질 수 있으므로 이산 확률 변수(discrete random variable)이다. 따라서 확률 질량 함수(pmf: probability mass function)와 누적 분포 함수(cdf:cumulataive distribution function)으로 정의할 수 있다.

베르누이 확률 변수는 1이 나올 확률 θ 라는 하나의 모수(parameter)만을 가진다. 0이 나올 확률은 1−θ1−θ 로 정의된다.

베르누이 확률 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

 

지시확률변수에서 X=성공횟수