포아송분포 (The Poisson distribution)

확률변수와 확률질량함수는 엄연히 다른것이다.

P(X=x)+P(Y=y)

x에 관한 함수 

y에 관한 함수 

 

x+y의 확률질량함수를 구하고 싶으면

x+y가 확률변수여야 합니다.

x+y에 관한 함수가 필요한 것 입니다.

 

'지도는 영토가 아니다'

 

확률변수는 집이다. 

분포는 집의 설계도 입니다. 

 

하나의 설계도를 가지고 여러개의 집을 만들 수 있습니다.

 

아주 많은 다른 확률 변수들이 같은 분포를 가질 수 있습니다.

독립적일 수도 있고 독립적이 아닐 수도 있습니다. 

 

이제 이걸 확률 집이라고 할 겁니다.

 

분포가 확률 집을 지을 때 쓰이는 설계도라고 하면 

확률변수는 그 확률 집 중의 하나인 겁니다. 

 

설계도는 문의 위치나 방의 구조를 말해준다기 보다는 

 

특정 확률을 가지고 무작위로 

문의 색을 빨강 혹은 파랑으로 정하는 겁니다.

 

확률변수는 그 집입니다.

 

포아송 분포

 

표기법

X~Pois(λ)

PMF

P(X=k)=e^-λ * λ^k / k!

 

k는 영이 아니다

λ는 비율 파라미터 

 

포아송 분포의 기댓값

기댓값: 값과 확률의 곱의 합이다.

포아송 분포의 기댓값은 λ가 된다.

 

포아송 분포가 왜 중요할까요?

포아송분포는 실제 이산형 데이터의 모델로 가장 많고 널리 쓰이는 분포입니다.

 

수를 세는 응용에서 쓰입니다.

음수가 아닌 정수니까 

어떤 숫자를 센다고 할 때 성공의 수를 세는 응용이라고 생각해봅시다.

 

이항분포처럼 성공과 실패는 일반화된 의미를 가집니다.

 

많은 시도를 하는데 각 결과는 성공 또는 실패입니다. 

많은 시도와 아주 낮은 성공확률을 자긴 응용이어야 합니다.

 

 

 

한시간 안에 받은 이메일 갯수

이게 왜 포아송 분포일까 

 

이메일을 보낼 수 있는 사람은 많다. 

하지만 주기적으로 이메일을 보내는 사람이 아니면 

각 사람이 당신에게 이메일을 보낼 확률은 매우 낮다.

 

초콜릿 칩 쿠키 안에 든 칩의 개수

쿠키 반죽으로 시작해서 칩을 몇개 만들고

모든 반죽이 초콜릿 칩인것은 아니다.

초콜릿 칩이 있을 있을 수 있는 조각은 많다.

특정 지역에서의 1년간 지진발생 횟수

Poisson Paradigm

실제로 포아송 분포를 쓰일 때는 상한이 있지만 

이론에서는 무한대로 간다. k={0,1,2,3,4,5,6...}

하지만 대부분의 경우에는 추정하기 유용한 분포일것이다.

==>포아송 근사 혹은 pois Paradigm 이라고 부른다.

 

사건 A1,,,An 

P(Aj)=pj 

n은 큰수이고, pj는 작고,

각 사건들은 독립이거나 "약하게" 의존하는 경우 

 

Aj의 발생 횟수가 포아송 분포에 근사한다고 주장할 수 있다.

 

여기서 람다(λ)가 포아송 분포의 기댓값이므로 

Aj의 발생 횟수의 기댓값이 되는것이다. 

 

사건이 의존적이여도 선형성에 의해 Aj의 발생횟수의 기댓값은 pj의 합과 같다.

이항분포의 포아송분포 수렴

지금까지는 각 사건이 독립적이고 

각 사건의 발생 확률 p가 동일한 베르누이 분포기에

사건 발생 횟수가 p 확률의 이항분포였다.

 

이항분포(n,p)가 포아송 분포로 수렴한다는것을 증명해보자.

 

포아송 분포는 이항분포보다 훨씬 일반적이다.

 

즉, 이항분포를 만족하면 포아송 분포를 만족한다는것 

(포아송 분포의 경우 p가 달라도 되고 조금의 의존성도 허용된다.)

 

이항분포의 기댓값은 np이고 포아송분포의 기댓값은 람다이므로 λ=np

이항분포의 확률질량함수 값이 위와 같다는것을 기억하자

n을 극한으로 보내면

n->∞ 

λ/n->0

k!는 상수

n(n-1)...(n-k+1)/n^k=e^-λ

 

이항분포의 PMF

이항분포가 포아송 분포에 수렴하는것을 알 수 있다.

전체 증명과정-출처[edwith]

 

포아송분포 문제

Raindrops are falling at an average rate of 20 drops per square inch per minute. What would be a reasonable distribution to use for the number of raindrops hitting a particular region measuring 5 inches^2 in t minutes? Why? Using your chosen distribution, compute the probability that the region has no rain drops in a given 3 second time interval.

 

==>포아송 분포를 사용하면 좋다.

λ=average rate of 20 drops per square inch per minute*5

 

 

P(X=k)=e^-λ * λ^k / k!