Electromagnetic Power Flow & Conducting Boundary

 

 

 

항상 위상속도를 가지고 얘기를 했었는데 

위상 속도는 cos(wt-Bz)가 있을 때 

웨이브 프론트가 진행하는 속도를 나타냈었는데 

up라고 하는것은 플레인 웨이브에 대해서 

오메가 나누기 베타로 구할 수 있었는데

베타가 자유 공간 같은 경우 입실론이 컨스턴트가 되는데 

 

베타가 오메가에 대해서 선형함수가 되는데 up는 상수가 되었다.

주파수에 상관 없이 일정했었다. 로스리스&리니어 할 때 위상 속도는 일정

베타가 오메가에 대해서 선형함수가 아닐 수 있다.

 

주파수에 따라서 달라질 수 있다. 

어떤 신호를 전송할 때는 대역폭을 가지고 있는데 

송신기에서 신호를 전송할 때 주파수가 다 다른데 

 

각 주파수 별로 전송 속도가 다르기 때문에 신호의 왜곡이 발생합니다.

 

이러한 현상을 디스퍼션이 있다.

'분산' 매질이다==>오메가와 베타 사이 관계가 비선형이다.

비선형이면 송신기로부터 수신된 신호가 주파수에 따라서 속도가 달라져서

왜곡이 발생할 수 있다. 

 

델타 function도 분산이 발생할 수 있다. 

대표적으로 로시 미디움, 도파관 내부의 전파상수를 보면 오메가와 베타 관계가 비선형 이다.

 

 

 

변조된 신호에 대해서 얘기를 하게 되면 

위상속도와 군속도가 다르게 나타날 수 있다.

 

군속도(group velocity)

변조된 신호의 wave-packet의 전송속도를 군속도라고 한다

기호로는 ug로 표현한다. 

AM 신호에 대해서 생각해보면 어떤 음성신호나 낮은 주파수의 신호를 

송신해서 수신을 하고자 하는데 

주파수가 1KHZ 우린 10KHZ정도 되니까 

높은 주파수를 사용해서 음성신호를 송신해서 수신해야하는데

대표적인 예가 AM 진폭 변조입니다.

 

W0로 (캐리어 주파수) 진폭변조 시켜서 송신시킨다.

정보는 델타 W에 들어가 있다.

W0는 캐리어 역할로 정보를 실어 나른다.

DSB는 더블 사이드 밴드

캐리어를 제거하고 송수신을 하겠다는 말입니다. 

캐리어를 제거해도 이미 주파수가 상당히 높아서 

W0와 비슷한 주파수 이다. 양 측파대만을 이용해서 송수신을 하겠다는것이다.

 

실제 신호는 델타 오메가라는 신호가 송수신이 되고 4개의 캐리어가 들어가 있는 

형태가 된다. 

캐리어의 위상 속도와 엠블럽이 진행하는 속도 ug를 그룹 velocity라고 한다.

 

오메가와 베타 다이어그램을 보면 비선형으로 관계를 갖는데 

엠블럽이 진행하는 속도와 캐리어의 위상 속도가 어떻게 다른지 보자.

 

오메가 제로에 비해서 베타 제로라는 웨이브 넘버가 되는데

베타는 베타제로에 대해서 델타 오메가가 작은값이라면 

 

그래프가 파셜리 선형적이다'  델타 오메가가 매우 작은 값이기에

부분적으로 선형적이라서 선형으로 근사화 시킨다. 

 

 

각각의 주파수 성분에 대해서 평면파가 전송되는 식을 써보면

 

 

전송되는 두개의 주파수 성분을 합쳐서 전송되는 신호를 보면 

코사인 w 주파수를 가진 신호의 traveling wave 

캐리어 신호가 있는데

녹색으로 된 신호가 캐리어 신호의 진폭으로 작용한다.

 

낮은 웨이브 넘버를 가지고 델타 오메가라는 주파수를 가지고 전송이 된다.

케리어 신호가 진폭에 의해서 변조가 되어있다.

이 진폭에 의해서 캐리어가 변조가 된다. 

 

델타 오메가의 주파수를 가진 신호에 델타 베타라는 웨이브 넘버를 가진 신호의 전송이 되고

내부에 있는 것은 w0의 주파수를 가진 신호의 베타 제로의 웨이브 넘버를 갖고 전송이된다.

 

캐리어 신호의 전송속도가 up Phase velocity 

진폭이 전송되는 속도를 ug Wave packet의 전송속도, 군속도

phase vel는 내부의 반송파의 전송속도이므로 코사인 함수로부터 

up=w0/B0

 

Group vel은 

델타W/델타B

 

 

 

실제로 비선형 매질의 up와 ug의 차이를 봅시다.

 

베타와 감마에 대해서 계산했었는데 

오메가가 오메가p보다 작으면 스퀘어 루트 안이 음수가 되서 베타가 허수가 된다.

w가가 wp보다 낮은 영역에서는 알파만 남아서 전송이 되지 않는다.

phase velocity는 w/B이다. 

빛의 속도보다 크게 나옵니다.

실제로 에너지,정보가 진행되는것이 아니라 위상,파동만 전송이 된다.

c보다 빠르지만 실제 에너지가 전송되는것이 아니다.

 

ug는 실제 information이 전송되기에 빛의 속도보다 빠르지 않다.

up*ug=c^2

 

디스퍼션이 없는 경우

노말 디스퍼션 

anormalous dispersion (오메가에 따라서 up가 더 커질 경우)

 

연습문제 8-6

로스 탄젠트가 작을 때 (low loss)

알파와 베타를 구하고 

오메가에 대해서 베타는 선형적이다.

알파와 베타가 같고 

로우 로스에서는 분산'이 없다.

 

 

 

전기장 웨이브는 에너지가 전송되는것이다. 

한 지점으로부터 다른 지점으로 에너지가 전송되고 있다. 

전송되는 파워는 실제 크기나 방향이 어떻게 되는지를 알아야 되는데

 

시간 영역의 맥스웰 방정식을 생각해봅시다. 

 

다이버전스 ExH를 구해보면 

최종 결과를 생각해서 이것을 구해보면 

다이버전스 ExH가 어떤값을 가질지 구해보자.

 

ExH의 발산은 그 지점에서 저장된 에너지의 감소율 - 소모되는 에너지 

 

이것이 바로 Poynting form,pointing therom이 됩니다.

 

식의 물리적인 의미를 알아 봅시다. 

단위시간당 저장되어 있는 에너지의 증가율

 

오믹 파워=열손실

열손실에서 소모되는 전력 

오른쪽항은 저장되는 에너지의 증가율 혹은 소모되는 전력

소모되는 만큼 내부로 전력이 흘러들어와야하는데

왼쪽항은 외부로부터 흘러들어오는 총 전력이 된다.

 

ExH는 전력 밀도 벡터가 된다.

단위면적당 흘러들어오는 전력을

표면에 대해서 닷 프로덕트하면 총전력 벡터의 총량을 구할수 있다.

그것이 파워가 되고 그것이 파워 density가 된다. 

 

포인팅 벡터 P는 ExH가 된다.

ExH의 방향으로 전력이 흘러들어가고 있다는것입니다.

 

파워 밀도 벡터

포인팅 벡터의 방향은 E와H의 직각인 방향이다.

 

 

 

 

 

포인팅 벡터의 정의를 이용해서 반경 B인 컨덕터가 있을 때

시그마가 있는 경우에 전력소모가 일어나는데

포인팅 벡터의 개념으로 생각해보면 

E와 H를 구하고 크로스하면 -ar 방향이 된다.

컨덕터를 둘러싸는 표면을 통해서 안으로 -ar방향으로 전력이 흘러들어간다는것을 알수 있다.

흘러들어가는 총 전력은 표면에 대해서 적분을 해주면 되는데

결과적으로 I^2 R이 된다.

 

포인팅 벡터의 개념으로 생각하면 표면으로부터 전류가 흐르고 

표면에 E와 H로부터 파워가 안으로 흘러들어가서 내부에서 소모되고 있다

 

 

ExH의 방향으로 ExH의 크기에 해당하는 파워가 흘러가고 있다.

필드가 타임 하모닉일 경우에 페이저를 사용하게 되는데

포인터 벡터와 관련해서 어떻게 해야 하는지

페이저 사이의 관계에 대해서 생각해보도록 합시다.

 

마그네틱 필드는 로스가 있어서 에타가 컴플렉스가 되면 크기와 위상이 있고

페이저 도메인에서 임피던스로 나눠주게 되면 

페이저 도메인에서 위상이 분모로 들어가게 되죠

 

전기장과 자기장을 비교하면 세타n 만큼 위상 차이가 있다.

 

ExH가 포인팅 벡터인인데 페이저의 P를 구해서 타임 도멘인으로 구하면 같은 결과가 나올까?

페이저를 이용할 때 같은 주파수라는 가정하에 이용했었는데

타임 도메인에서 곱하기에 해당하는것을 페이저에서 계산하면 주파수가 달라지게 된다.

페이저 도메인에서 계산하는것은 틀린 계산이라는것 

 

타임 도메인에서 곱하기 하게 되면 주파수의 믹싱이 일어나기 때문에 주의해서 곱하기를 해야한다.

 

회로에서 전력 계산할 때 하는것과 비슷함

전압과 전류 위상이 같을 때 

 

위상의 차이가 나면 역률이 1보다 작은값으로 줄어들게 된다.

인덕터나 캐패시터는 90도 위상차이가 났었다.

주파수는 두배가 되는데 평균을 하면 0이된다

 

평균 소모 전력이 역률에 의해서 0이된다. 

 

전력을 계산할 때 포인팅 벡터에서도 평균전력이 중요하다.

평균전력을 더 중요하게 생각해야 한다.

 

코사인 세타가 평균전력을 나타낸다. 

 

 

 

평균 포인팅 벡터를 평균내보면 코사인 세타만 남는다.

페이저를 이용해서 같은 평균치를 얻을 수 있겠는가?

페이저를 이용하게 되면 

평균전력밀도

타임과 관계없는 항만 평균전력에 영향을 끼친다.

 

 

전기장은 세타 방향으로 발생하고 

H는 파이 방향으로 발생해서 r방향으로 퍼져나간다.

 

복사 패턴은 어떻게 되는가 사인 세타가 복사 패턴이 된다. 

세타가 0도일 때는 제로 

 

대문자 R방향으로 평균치가 퍼져 나간다.

 

총전력은 어떻게 되는가?

전력밀도를 적분해주면 된다. 

구의 표면에 대해서 적분해주게 되면 

R을 크게하든 작게하든 흘러나가는 전력은 같다 (밀도는 줄어들지만 로스리스 미디움이라서 흘러나가는 전력은 같음)

전원이 안테나를 보면 안테나에서 전력을 공급해주는데 

전력이 퍼져 나간다. 

전원이 있고 저항이 있는것 처럼 나타나게 된다.

 

안테나는 뭐가 있는지 모르지만 저항이 있는것으로 본다. 

안테나 인풋임피던스는 저항이다~ 등가 저항 저항으로 볼 수 있다.

 

복사 저항이다 라고 한다.

복사가 되어서 돌아오지 않는것이다. 

열에너지로 해서 다른것으로 전환된다는것을 알 수 있다. 

 

평균전력을 등가적으로 1/2 R I^2 

 

등가적으로 안테나는 저항으로 볼 수 있다. (회로적으로 전원 입장에서 보면 안테나의 임피던스가 리얼 파트면 복사가 이루어 지고 있다' 라고 생각됨)

 

퀴즈

왜 같지 않은지 써서 제출하세요 ^^

 

 

플레인 웨이브가 자유공간을 진행할경우 

바운더리의 전자파가 입사되었을 때 어떤일이 일어나는지 알아보자

컨덕팅 바운더리에 플레인 웨이브가 수직으로 입사할 때 어떻게 되는지 

알아보자 플레인 웨이브가 z축 방향으로 진행할 때

 

리플렉티드 웨이브를 표현하게 되면 Er0로 가정한다.

 

바운더리 컨디션을 적용하면 

 

반사계수가 -1이되면

 

 

마그네틱 필드가 어떻게 되는지 봅시다.

 

전기장은 입사되서 반사되는 순간에 극성이 반대가 되서 반대가 되는데

자기장은 극성이 같다. z=0에서 크기가 2가 된다는것을 알 수 있다.

 

 

사인함수 두개를 합쳐보면 traveling wave가 아니다.

타임 도메인의 순시치로 바꿔보면 

E1에 대해서 

 

트레블링 웨이브가 아니고 위상만 커졌다 작아졌다 하는데 

위치에 따라서 진폭이 다르면서 진동만 한다는것을 알 수 있다.

이런 경우를 스탠딩 웨이브라고 부른다 (정상파,정재파)

반사계수가 1 혹은 -1일 경우 전체가 다 스탠딩 웨이브

전기장 같은 경우 반파장마다 null이 나타난다. 

 

위치에 따라서 E와 H의 비가 차이가 많이 난다. 

위치에 따라서 전압 전류의 비가 다르다.

 

위치에 따라서 크기가 다르다. 

파란색이 입사파 빨간색이 반사파

입사파와 반사파의 크기가 정확하게 반대가 되고 

어떤 부분에서는 0이되고 어떤부분에서는 합쳐지고

z=0에서 0이된다는것을 알 수 있다. 

 

 

스탠딩 웨이브는 트레블링 하지 않기 때문에 

에너지가 전송되지 않고 그 위치에서 진동만한다.==> P의 평균을 구하면 0이된다.

 

wall surface에서 표면 전류를 구할 수 있는데 

입사파에 대해서 반사파가 있고 

이것에 의해서 표면에 유기전류가 흐르게 된다. 

입사파와 반사파가 바운더리 컨디션으로 나타나서 유기전류가 나타난 다고 생각할수 있다.

 

입사되었을 때 입사파에 의해서 Js가 유기 되어서 전자파가 복사 된다고 볼수 있고 (전류에 의해서 산란파 해석)

입사파에 대해서 반사파가 산란파라고 해석할 수도 있다.

 

임의의 방향에 대해서 계산한다고 했을 때

토탈 필드를 구하면 스탠딩 웨이브로 나타난다.

 

유기 전류

 

컨덕팅 바운더리에 비스듬히 입사되는 경우

입사면이라는것을 생각해보면 

컨덕터가 놓여져있을 때 

비스듬히 입사되는 경우에 입사될 수 있는 경우가 굉장히 많다.

비스듬히 입사되는 경우 여러가지 방향으로 입사될 수 있다.

비스듬히 입사될 경우 입사면을 정의해주고 그 입사면에서 생각해야 한다.

노말 벡터와 k 벡터를 공유하는 입사면으로 보겠다

이 면상에서 생각해보면 

폴로라이제이션을 생각할 수 있는데 

입사면에 놓여 있는 경우 

일렉트릭 필드가 입사면에서 직각을 향하는 퍼펜딕 큘러 폴로라이제이션 

입사면과 일렉트릭 방향이 같이 놓여져 있는 경우 평행 편파' 라고 한다. 

직교편파<->평행편파

나눠서 생각할 수 있다.