Conducting & Dielectric Boundaries

반사파의 크기가 얼마냐? 언노운으로 볼 수 있다.

이것을 구하기 위해서 바운더리 컨디션을 적용합시다. 

탄젠셜 일렉트릭 필드가 0이 되어야 한다.

ay 성분 자체가 접선방향 성분 

표면에서 ay성분이 입사되는 파와 반사되는 파의 합이 되니까 

입사되는 파와 반사파를 합치면 z가 제로가 돼서 0이 된다. 

두 개를 합치면 위와 같이 된다.

 

Er0와 세타 r이 언노운

매그니튜드와 위상을 알아봐야 하는데 

세타 알은 세타 아이가 되어야 한다.

 

Er0=-Eio 

amplitude와 phase 

phase로부터 세타 r은 세타 i

 

전기장 같은 경우 반대방향으로 탄젠셜 성분을 0으로 만들어준다.

입사각과 반사각이 같다는 것은 스넬의 법칙

입사각과 반사각에 관한 스넬의 법칙이었다.

 

그것을 이용해서 자기장을 구해보자.

ax방향 성분 az방향 성분 

이렇게 해서 자기장과 전기장에 관한 식을 구했는데

이 두가지 결과로부터 region 1에서 토털 필드를 계산해 보자

 

위상을 보면 x방향으로도 진행을 하지만 z방향으로도 진행을 하고 있는데 

전기장에 관해서는 ay성분이지만 

전기장에 관해서 입사파와 반사파를 합쳐보면 

입사파는 x방향으로 반사파는 -z 방향으로 진행하고 있어서 

x방향 성분은 묶어줘서 쓸 수 있다. 

z방향으로는 두 개를 빼기 해야 하니까 사인 함수로 나타낼 수 있다.

 

자기장에 관해서도 x방향으로는 같은 위상을 가지고 있고 

z방향에서는 부호가 반대가 되니까 x방향은 부호가 같으면서 위상이 반대니까 cos으로 합쳐주고

z방향은 부호가 반대니까 사인으로 나타난다.

 

시사점

비스듬히 입사될 때는 방향에 따라서 standing wave와 traveling wave로 나뉜다.

z방향으로 보면 전기장과 자기장이 standing wave 형태로 나타난다. 

x방향으로는 traveling wave로 나타난다.

 

 

자기장을 두개 성분으로 분해할 수 있는데 

z방향 성분 Hz Hx 두 가지 성분으로 분해할 수 있는데

Ey와 Hx이 성분은 z방향으로 진행하는 wave

Ey와 Hz 성분은 x방향으로 진행을 하게 된다.

 

z방향으로 진행하는 성분과 x방향으로 진행하는 성분 

z방향에 대해서는 반사가 일어나서 standing wave가 일어난다.

x방향으로 진행하는 성분은 부딫치지 않아서 traveling wave가 된다

z방향으로 입사되는것은 standing wave 

 

x방향으로 traveling wave를 보면 베타 1 웨이브 넘버로 진행하는데 

베타 1보다 작아서 파장이 짧아지고 속도가 빨라진다는 얘기

x방향으로 진행하는 웨이브는 플레인 웨이브라기보다는 위상으로 보면 

플레인 웨이브보다 파장이 길어지고 속도가 더 빨라지게 된다. 

 

왜 그렇게 되느냐? 이러한 방향으로 입사가 될 텐데

위상을 보면 입사가 되는데 램다 1을 정할 수 있고 

진행 방으로 파장은 2pi/B가 되고 

이 값이 램다 1이다. 

 

입사가 되고 반사가 되는 경우 x방향으로 진행하는 성분을 보면 

x방향의 파장을 보면 비스듬히 입사되는 경우

램다 1x= 파장/sin세타 i 

 

x방향으로 파도가 입사가 되면 파도의 파장은 있지만 

바닷가를 훑고 가는 파장은 훨씬 길어진다.

x방향으로 진행하는 파동의 성질을 보면 파장도 길어지고 속도도 빨라지지만

x방향으로 보면 traveling wave가 되고 

z방향은 standing wave가 된다.

sin세타 i 스탠딩 웨이브의 0이 나타나는 위치도 달라지게 된다. 

스탠딩 웨이브의 널의 길이도 길어진다.

스탠딩 웨이브가 나타는데 길이가 베타 1 코사인 세타 i에 의해서

너의 길이가 달라지게 된다.

 

z방향으로는 스탠딩 

x방향으로는 트레블링 웨이브 

이것에 의해서 널의 나타나는 위치가 달라지게 된다.

 

실제 파워는 전송이 되지 않는다

크기만 커졌다가 작아졌다 하는 것

크로스 프로덕트를 해보면 위상이 90도 차이가 나서

평균 파워는 0이 된다. 

ay와 Ey에 의해서 만들어지는 z방향의 웨이브는 평균 전력이 0이 된다.

 

스탠딩 웨이브가 되고 z방향으로는 파워가 전송되지 않는다. 

Hz와 Ey는 실제로 z가 있으니까 평균 전력이 0이 아닌데 

베타 1x 에 의해서 속도와 파장이 정해진다. 

 

파장을 보면 파장도 원래 파장에 대해서 sin세타 i로 나눠주니까 

더 길어진다. 

파장도 더 길고 속도도 더 빠르지만 

실제로 에너지가 전달되는 속도는 PHASE VELOCITY 

이러한 형태로 진행된다는 것을 알 수 있다. 

 

nonuniform 한 가지 생각해봐야 하는 것이 

null이 나타나는 위치를 생각해보면 

E1=0이 되는 위치에서 sin함수가 0이 되는데

이식으로부터 z를 구할 수 있다. 

지난번에는 2/m 램다 1이었는데

두 개 페럴럴 플레이트 이 내부에서 진행되는 평행 편파 도파관 

내부의 전기장과 같은 솔루션이 된다. 

이러한 솔루션은 컨덕터를 갖다 놔도 같은 솔루션이 된다. 

컨 덕팅 바운더리를 놔도 같은 솔루션이 되는데

평행 평판 도파관의 솔루션과 같은 솔루션이 된다.

 

진행방향은 ax방향이고 ay방향이 되면 

전기장이 진행방향에 대해서 transfer 하면 TE모드 

진행 방향에 대해서 전기장이 transfer 할 경우 TE 모드

parallel plate wave guide 

 

phase 프런트를 보면 one wave length 

굵은 실선은 책에서 보면 맥시멈이 나타나는 위치

가는 위치는 미니멈이 나타나는 위치 

컨덕터 표면에 입사가 될 경우

반사파는 나오는 방향이 최대가 됐을 때

가는 점선은 들어가는 방향이 최대가 됬을 때 

 

입사 파는 들어가는 방향 

반사파는 나오는 방향이 된다. 

두 개 합쳐서 0이 되고 

 

입사파와 반사파의 그림을 그렸는데 

두 개를 합친 것이 토털 필드가 되는데 

널리 나타나는 위치에서 입사파의 나오는 성분과

반사파가 나오는 성분이 합쳐져서 0이 된다. 

가운데 선을 따라서는 0이된다.

여기서는 맥시멈이 되면서 널이 발생학 된다는 말이다.

 

컨 덕팅 표면에 유기되는 전력을 구하라 

H1을 보면 z=0 

ax방향 성분이

탄젠셜 자기장이 전류를 유기시킨다. 

노말 인스턴스랑 다른 점은 x방향으로 트레블링 하고 있다 

 

파장이 있고 H 필드가 

 

표면에 유기되는 커런트는 an x H

J=ay 방향이 된다. 

 

전체 그림이 위쪽 방향으로 트레블링 하고 있다. 

한 지점에서 생각하면 전류가 +로 흘렀다가 -로 흘렀다가

z방향으로 생각해도 변화를 하고 있다.

B1으로 트레블링 하고 있다.

전류가 y방향이면서 

엠플리튜드를 가지고 트레블링 하고 있다. 

 

 

time average 포인팅 벡터를 구하라

에버리지 파워는 0이 되겠죠

z방향으로는 파워 플로우가 없고

Ey와 Hz 성분은 x방향으로 트레블링 하고 있다. 

x방향으로 성분이 살아남는다. 

 

비스듬히 입사되는 경우 

z방향으로는 스탠딩 웨이브=> 파워 플로우 x

x방향으로는 트레블링 웨이브=> 파워 플로우 有

 

이번에는 평행 편파에 대해서 알아봅시다.

 

전기장이 입사면과 평행하게 있을 경우 평행 편파라고 하겠죠 

H필드는 y방향 E는 직각인 방향으로 

전기장과 자기장으로 표현을 하는데 

위상 관계는 퍼 펜딕와 같은 형태

위상은 같다.

방향은 다르다

자기장이 y방향으로 향하게 되고 

일렉트릭 필드는 x방향으로 cos z방향으로 -sin

 

H필드는 -ay방향으로 향한다고 가정을 하고 

ExH

위상에 관해서는 퍼펜딕 큘러 폴로 라이제이션과 같은 방향으로 -z 방향으로 진행하는 것 

표현식을 써주고 바운더리 컨디션을 매칭 해서

반사파의 크기를 구해주고 반사각을 구해줄 수 있다.

 

탄젠셜 성분이 0이 되어야 하니까

x방향 성분 

입사파의 x방향성 분과 반사파의 x방향 성분을 합쳐서 0으로 둘 수 있었다

 

위상 매칭으로부터 세타 i는 세타 r이랑 같아야 한다 

그래서 전기장을 구해보면 

z방향 성분에 대해서도 써주고 

x방향에 대해서도 x방향으로는 트레블링 웨이브 

아래쪽에 있는 식은 코사인 함수

 

최종적으로는 

 

x방향으로는 B1x=B1 sin세타 

z방향으로는 자기장은 코사인 함수

전기장의 접선 방향으로는 sin함수

x방향으로 트레블링

z방향으로 스탠딩 웨이브 

 

전기장과 자기장의 벡터의 방향이 다르게 나타난다 

z방향으로는 스탠딩 웨이브 

E1x와 H1y와 위상이 90도 차이가 나서 파워 플로우가 나타나지 않는다 

E1x라는 속도로 베타가 원래 베타 1 사인 세타 

베타가 작아지게 되고 속도는 빨라진다

 

자기장이 진행방향에 대해서 트랜스 펄스==> TM 웨이브 

자기장은 진행방향에 대해서 트랜스 펄스만 있다.

이것을 TM wave 패럴렐 플레이트와 같은 형태의 솔루션이 된다.

 

유전체(dielectric)에 수직으로 입사되는 경우부터

왼쪽은 입실론 1 뮤1 오른쪽은 입실론1 뮤 2 

TEM 웨이브가 수직으로 입사된다

반사파도 같은 방향으로 가정하고 

자기장도 반대방향이 된다. 

유전체도 전송파가 되는데 

전송파 혹은 투과파가 이제 같은 편파를 가지고 

z 축 방향으로 진행을 하게 된다. 

수식으로 표현을 하게 되면 

 

입사파로 

자기장은 

y방향으로 

 

H필드는 an x Er 

투과 파는 입사파와 같은 공식이 되는데 

e^-jBz 

 

언노운은 Er0와 

두 개의 바운더리 컨디션을 가지고 두개의 언노운을 구할 수 있다. 

 

E1t=E2t, H1t=H2t 

 

입사 파는 알고 있다고 생각하고 

Er0 Et0에 관한 표현식을 구할 수 있다. 

 

이 두 개를 연립해서 Er0를 구해보면 

유전체에서는 입사파에서는 일부가 반사 

일부가 투과가 되는데 

 

반사 계수

투과 계수

 

반사 계수와 투과 계수를 구했는데

물질의 종류에 따라서 

감마가 타우가 어떤 값을 갖는지 확인해보자

 

로스 리스일 때는 

 

에타원 에타 2가 둘 다 양의 값이니까 

에타 1의 크기에 따라서 감마의 부호가 바뀐다. 

 

양이되거나 음이 되거나 

크기는 항상 1보다 작은 값이 된다.

 

타우는 항상 양이된다. 

로시 미디엄이면 

에타가 콤플렉스가 된다.

컴플렉스가 된다는 얘기는 반사가 될 때 

위상 변호가 발생한다는 것 

 

에타의 리얼 파트가 0이 되면 감마의 절대치가 1보다 작은 값이 된다.

두 개 식으로부터 1+감마= 타우

 

타우는 항상 양이되고 

로시 미디엄이면 에타가 콤플렉스가 되고

감마랑 타우도 컴플렉스가 된다

 

반사가 될 때 위상 변화가 발생한다는 것

감마의 절대치는 1보다 작은 값이 된다 

 

위에 있는 두 개 식으로부터 1+감마는 타우

 

퍼펙트 컨덕터 일 경우

전기장에 대한 반사 계수 이므로 

타우는 0

 

에타 1이나 에타 2가 양의 값을 가지면 

입실론 뮤가 양의 값을 갖는 것 

일반적으로 양의 값을 갖는다

 

그래서 양의 값을 갖는다

베타 1도 양의 값

에타 2도 양의 값 

그럼 반사계 수도 양의 값

 

에타 2가 0보다 작을 경우

감마의 크기가 1보다 큰 값이 된다

감마의 값은 양이거나

0에서 1 사이

감마의 크기가 1이라고 하면 

이안에 들어오게 되는데

에타 2가 음이 되면 바깥 쪽에 위치하게 된다.

 

 

에타2가 음이면 반사 신호가 더 크게 된다

=> 신호를 더 제너레이션 해서 

반사를 하게 된다

수동 소자에서는 일어날 수 없는 일이다.

저항값 -가 된다면 generator 역할을 할 수 있다. 

 

일종의 능동 dc 전력이 있어서

새로운 신호를 더 크게 만들어준다.

이것이 오실레이터의 역할을 해준다.

 

부하를 달아놓게 되면 전류가 흘러서 

이 양단에 전압이 나타나게 된다.

 

내부 저항이 보통 양으로 나타나서 

전류가 흘러가 전압이 나타나게 되는데 

저항이 0보다 작게 되면 

Rl=-Rs

Rl은 양의 값인데 Rs의 절댓값과 같으면 

Vs가 없더라도 전류가 흐를 수 있다.

 

오실레이터로 동작할 수 있다.

이것이 발전기의 원리가 되는데

부성 저항을 가지는 소자를 AC에서 구성 저항을 만들어주는데

부분적으로 부성저항

 

감마는 원래 1보다 작은 값을 가져야 하지만 

1보다 크면 에타 2가 0보다 작을 때이고 

 

어떤 dielectric medium을 얘기할 때는 

에타 2는 양의 값을 가져야 한다.

 

지난번에 퍼펙트 컨덕터에 입사될 경우 

스탠딩 웨이브가 나타난다고 했는데

다일 렉 트릭 바운더리에서는 어떤 일이 일어날지 

일부분은 투과되고 일부분은 반사가 되고 

이경우에 영역 1에서 어떤 일이 일어나는지 알아보자

 

조금 변형을 하면 

한번 더해주고 한번 빼주고 

1+갬 마는 타우가 되니까

 타우로 바꾸고 

이식을 가만히 보면 트레블링 웨이브와 스탠딩 웨이브가 중첩이 돼있다.

 

트레블링 웨이브와 스탠딩 웨이브가 같이 있고 

왼쪽에서 트레블링과 스탠딩 웨이브가 같이 있다.

 

전기장이 트레블링과 스텐딩 웨이브에 대해서

에타 1 에타 2의 관계에 따라서 두 가지 관계로 나타날 수 있다. 

 

얼마만의 크기로 스탠딩, 트레블링

미니멈 맥시멈

전기장과 자기장의 관계에 대해서 생각해보자

바깥으로 빼면 1+감마

이 식을 가지고 생각해보면 

일단 미디엄이 손실이 없다고 가정하고

에타 1과 에타 2가 리얼이 되고

 

리얼 넘버로 생각해보면 

첫째로 감마가 리얼이 되는데

 

에타 2가 에타 1보다 클 때 그러면 감마가 1보다 크다

그럼 영역 1에서 어떻게 변화하는지

크기를 생각해보면 우리가 뺄 수가 있고 

나머지에 대해서 크기를 생각할 수 있는데

절대치가 크기의 절대적인 영향을 끼친다.

 

z는 바운더리로부터 -값으로 커질 경우에

1+갬마 

감마는 양이거나 음인데 

1이라는 벡터를 생각하고 

벡터의 방향에 2배에 배타 1z의 방향으로 변화한다

z가 -여서 -로 -각도를 갖는다

 

z가 0으로부터 -방향으로 증가하게 되면 

회전하게 돼서

z가 -값을 가질 경우 

z가 증가하면 회전하게 된다

 

감마라는 반경으로 회전을 하게 된다. 

전체 벡터의 크기가 같이 움직이게 된다

 

전기장의 크기는 최대가 되고

맥시멈은 1+감마가 최대치 

두배의 베타 1z

베타는 2pi/램다 

주파수가 높아지게 되면 회로 안에서도 전압의 크기라던지

이런 것이 크게 변화하게 된다

 

-값을 갖는 감마를 더하면 

이것으로부터 감마 벡터가 회전을 하게 되니까 

미니멈으로부터 증가해서 멕시멈으로

 

스탠딩 웨이브 레이시오 정의 가능

일렉트릭 필드의 미니멈 분의 

스탠딩 레이시 오는 감마가 0~1까지 변화하는데 

감마가 0이 되면 스탠딩 레이시오가 1 => 반사가 없다. 

감마가 점점 커지게 되면 레이시오가 무한대 까지=> 

 

회로에 부하 Zl을 선로에 임피던스가 있을 경우

부하가 매칭이 이뤄질 때 반사가 없겠죠

스탠딩 웨이브는 1이 되고

이뤄지지 않으면 반사파가 일어나서

스탠딩 웨이브 레이시오가 올라가게 된다. 

 

위치에 따라서 커졌다 작아졌다 하는 것

 

도파관을 연결해서 신호를 가할 때 스탠딩 웨이브가 발생하게 되는데

여기에 프로브를 연결해서 이동해서 측정하면 커졌다 작아졌다

측정을 할 수 있다.

측정이 가능한 것 

측정을 하고 난 후에 여기서 반사 계수가 얼마냐?

에타 2가 얼마인지 모른다. 

전자파를 쏜다음에 반사가 일어나는데 

감마를 구하게 되면 감마로부터 에타 2+에타 1 

에타 1을 알고 있을 경우 감마를 알게 되면 

베타 2를 구할 수 있다.

감마가 양인지 음인지 어떻게 판단을 하느냐

 

에타 1 에타 2가 있으면 

측정을 해보니까 

바운더리에서 맥시멈에서 변화하면 0보다 큰것

 

스탠딩 웨이브 레이시 오는 실질적으로 뭔가를 측정해서 할 때 매우 중요한 값이 된다.

 

일반적으로 로그를 취해서 데시벨로 얘기를 많이 하는데

20 log(10) S 이런 식으로

 

부호가 -가 되고 

우리가 자기장을 표현할 수 있는데

익스포넨셜 1-감마 이렇게 나타난다.

전기장이 변화하는 것과 반대로 변화하게 된다

 

완전히 역수가 된다 램다1/4 에서 

바운더리에서 이동했을 경우 E와 H의 비가 크게 나타난다.

주파수가 높아지게 되면 위치에 따라서 잘 설계를 해야 설계가 가능하다

 

전송되는 파워 플로우가 일어난다

로스 리스에서

리전 1에서 송신되는 전력이 송신 2에서 송신되는 전력이 같을 것 

파워 관계로부터 위와 같은 식이 나타난다. 

 

미디엄 세 개 있을 때 

다일 렉 트릭 코팅일 경우 혹은 레이돔 

레이더에서 항공기를 탐지하기 위해서 

전자파를 쏘는데 눈이나 비를 막기 위해서 레이돔을 씌우거나 할 때 

반사가 최대한 일어나지 않도록 설계해줄 필요가 있다.

 

레이돔에 입실론 r을 어떻게 하겠느냐

싱글 레이어 혹은 멀티 레이어

 

문제를 풀기 위해서 이런 경우에 

입사파를 가했을 때 투과파나 반사파를 구하기 위해서

식을 세워 봅시다. 

 

입사파와 반사파에 대한 식을 세울 수 있고

+방향으로 진행하는 웨이브

 

우리의 언노운은 

네 개의 언노운이 있을 텐데 

바운더리 컨디션을 적용해야 하는데 

 

총 4개의 바운더리가 나와서 4개의 언노운을 풀 수 있다.

 

직접 문제를 풀기보다 임피던스 관점에서 보게 되면 

레이어가 많아지게 되면 멀티레이어를 해줄 필요가 있고

 

임피던스 관점에서 적용하게 되면 

임피던스를 이용해서 문제 푸는 방법을 생각해보자.

 

토털 필드 웨이브 임피던스를 구해줄 수 있다. 

 

리전 1에서 바운더리가 하나만 있을 경우 

입사파와 반사파가 있는데

전기장은 변화할 경우 

자기장도 변화하고 

각각의 위치에서의 비를 Z로 두겠다

웨이브 임피던스

웨이브 임피던스를 구하게 되면 E는 Ei0

입사파 반사파

이동했을 경우 어떻게 변하는가==> l 에 대한 표현식으로 바꿔주게 되면 

바운더리로부터 l만큼 떨어져 있는 것

 

감마 대신에 

 

-1이 되니까 에타 2는 제로

임피던스가 크게 변화한다. 

 

에타 1 에타 2 에타 3가 있을 경우 반사 계수를 생각하는데 

반사가 일어날 때 

반사 계수 생각할 때 에타 2 대신에 

전체를 뭉뚱그려서 인풋 임피던스가 어떻게 되는가를 생각해보면

전체에 관한 equ 임피던스로 볼 수 있다.

 

바운더리가 있는데 이동을 하게 되면 임피던스가 바뀌는데

Z2만큼 이동했을 때 임피던스가 어떻게 되는가

Z=0에서 미디엄 2에서 3으로 갔다가 부딪쳐서 오는 신호의 크기를 계산해서

Z 임피던스를 구할 수 있다.

 

Z2=0 임피던스

임피던스를 구해서 

이런 형태로 생각하면 된다

 

에타 2 대신에 Z2가 연결되어있는 거예요

 

이렇게 하면 레이어가 여러 개 있어도

Zd1을 구해서 전체를 등가 모델링을 할 수 있다

Z(d1)해서 구해주고 Z에 0 해서 구해주고 

반사 계수를 구해줄 수 있다.

 

레이어가 에타 1 에타 2 에타 3 있고

반사 계수가 0이 되기 위한 조건을 구하라

식은 하나지만 식은 실제로 두 개

실수는 실수끼리 허수는 허수끼리 같게 놔서 문제를 풀 수 있다. 

실수끼리 하면 1 번식 허수끼리 하면 2 번식

에타 1 에타 3 같다는 것은 레이돔 같은 경우 이런 케이스가 될 것이다

d=(2n+1) 램다2/4

이런 식을 얻는다.

 

그다음 2 번식을 만족해야하는데 

2번식을 어떻게 만족시키겠는가

에타 1 에타 2 에타 3가 같다는 얘기=> 반파장

리플렉션이 없다

바운더리가 없는 거라서 안돼요 

에타 1 에타 3가 같은 경우

 

리프렉션이 제로일 경우 

에타 3과 에 1이 같을 때 d가 반파장이 되어야 한다

두께가 상당히 두꺼워져야 한다.

에어처럼 보여서 리프렉션이 없다. 

4분의 람다 이동하면 쇼트가 오픈이 되고 오픈이 쇼트가 돼서 

엄청난 변화를 일으키게 된다.

반파장이 되면 같은 임피던스가 발생한다.

 

특정 주파수에서는 매칭이 되서 반사파가 없겠지만 

조금만 틀어져도 매칭이 일어나지 않게 된다.

반파장 다일 렉 트릭 윈도가 된다. 

 

 

에타 3과 에타 1 같지 않을 경우

어떻게 하면 들여다본

 

에타1 에타 3가 같지 않을 경우 

램다/4로 같게 하면서

위와 같은 방법은 임피던스 매칭을 같게 해주는 방법 중 많이 사용된다.

 

quarter-wave-impedance-transformer 

 

전송선로에서 많이 사용하는 쿼터 웨이브 임피던스 매칭 방법

파동에서도 두께를 램다/4로 해서 

에타 2를 넣어주게 되면 반사가 0이 될 수 있다.

 

컨 덕팅 바운더리에 비스듬히

x 트레블링

z 스탠딩

 

다일 렉 트릭

멀티 레이어 어떻게 할 거냐