Continuum Mechanics and Finite Element Methods (Seong-Jin Park, POSTECH) 5_1_1_2

inner product space는 L2 space라고도 합니다.
u의 제곱은 두 개의 u를 inner product한 것과 같기 때문에 L2 space라고 부른다.

 

Hilbert space

Hilbert space는 L2 space에 complete 조건이 추가된것이다. 

 

Hilbert space의 장점

Vector를 예로 들면, x, y, z의 combination을 통해 모든 vector space를 만들어 낼 수 있습니다.
따라서 좌표라는 개념이 되고 이 3값의 combination으로 모든 point를 찍을 수 있습니다.

 

 

i, j, k라는 orthonormal basis를 하면, 이때는 ortho는 직각을 뜻하며, normal은 크기가 1이라는 것을 의미합니다.
orthonormal basis i, j, k로 모든 것이 표현이 되고 이를 complete set이라 합니다.
따라서 coefficient만 알면 됩니다.

마찬가지로 PDE를 sine series, cosine series 혹은 Fourier series로 다 나타낼 수 있습니다.
즉, sine series만으로 모든 function을 만들어 낼 수 있으며, 각 coefficient만 알면 됩니다.

그리고 각 term이 orthonormal하면, 

1 dimension problem으로 표현 할 수도 있고, 

같은 basis로 합치면 linear combination이 가능하므로 중첩(superposition)도 가능하게 됩니다.
이로 인해 대부분의 mechanics 문제의 PDE는 Hilbert space에 존재하며 깔끔하게 분석을 할 수 있는 겁니다.

 

Sobolev space

Hilbert space는 continuous space이지만 FEM을 이용하기 위해 discretize system으로 변경되면 

다른 space가 되는데, 이를 Sobolev space라고 합니다.
Sobolev space는 complete inner product space로, 미분 값들도 그 크기에 집어 넣습니다.
FEM은 Sobolev space에서 다룬다.

 

Numerical method

Playground가 L2 Hilbert space상에 존재할 때,

time variable, space variable의

general한 2nd order PDE를 integral equation으로 표현하면 이런 식으로 쓸 수 있습니다.

 

Strong form

Test function, trial function, 즉 arbitrary한 v에 대해 이 식이 항상 성립을 해야 하므로 Lu=0이 됩니다.
이것을 strong form이 합니다.

2nd order differentiable한 조건이 필요합니다.

strong form에서 FDM과 FVM가 나옵니다. 

Sobolev space관점으로 보면 H2입니다. 
여기서 2라는 것은 2nd differentiable하다는 것입니다. 

Weak form

strong form의 식을 integral by part를 한번 하면, 2차가 1차가 되고 0차는 1차가되어 두 차수가 같으며, boundary term이 생깁니다.
물론 =0인 조건은 유지됩니다.
한번만 미분 가능해도 풀 수 있습니다.
이를 weak form이라 합니다.
위 식은 조건이 strong 하고 아래 식은 weak한 조건을 가집니다.

FEM을 풀기 위해서는 weak form을 알아야 합니다.
그리고 이것은 한번 미분 가능하기에 H1 스페이스입니다.

 

Inverse form,adjoint form

weak form 역시 한번 더 integral by part를 하면, 1차는 0차로, 1차는 2차 미분항으로 바뀝니다.
두 차수를 더한 값은 항상 같아야 합니다.
마찬가지로 새로운 boundary term이 나옵니다.
결과적으로 세 식은 같은 문제를 푸는 것입니다.
마지막 식은 inverse form 혹은 adjoint form이라 합니다.
원래 문제를 original problem이라 하며, 마지막 문제를 adjoint problem이라 합니다.
어떤 문제든 adjoint problem을 정의 할 수 있으며, 이것을 numerical method에 적용하면 BEM이됩니다.
이 역시 Sobolev space가 H2가 입니다.

 integral equation, inner product, Hilbert space를 배운 이유는

이 Given differential equation에 대해 integral equation을 이해해야 numerical method를 이해 할 수 있기 때문입니다.

기본적으로는 differential equation이 있다면, integral equation이 반드시 존재합니다.
integral equation은 integral by part를 통해 strong form으로도, 

weak form으로도 풀 수 있고, adjoint problem으로 풀 수도 있습니다.

즉 3개의 서로 다른 문제로 변형시킬 수 있으며, 이 각각에 대해 numerical method 다르다고 생각하시면 됩니다.
2nd order PED의 성격에 따라 문제에 대한 적합한 numerical method가 결정 됩니다.

 

적합한 numerical method를 결정하는 방법

 

2nd order PED의 성격에 따라 문제에 대한 적합한 numerical method가 결정 됩니다.

Elliptic problem

2차항에 있는 상수 A, B, C를 근의공식을 적용하여 계산한 값이 0보다 작으면,

허근이 나오게 되고 이를 elliptic problem이라 합니다.

elliptic problem은 boundary condition만 알면 내부가 결정되기에 initial condition이 필요 없습니다. 
즉, boundary condition이 매우 중요합니다. 

이런 문제는 BEM을 사용하면 문제가 쉽게 풀리게 됩니다. 

Parabolic problem

그리고 값이 0인 경우 parabolic problem이라 합니다.

parabolic problem의

예를 들자면, 한쪽의 온도가 0도 그리고 반대편이 100도,

그리고 초기 온도가 200도일때, 시간의 흐름에 따라 온도가 이런 식으로 감소하게 됩니다. 
결국 steady state에서는 elliptic problem으로 바뀌게 되므로 initial condition이 존재하지만 시간이 지날수록 영향력이 감소하고, boundary condition의 영향이 점점 커지게 됩니다. 
이런 문제를 parabolic unsteady diffusion problem이라 합니다.

 

Hyperbolic problem

0보다 크면 hyperbolic problem이라 합니다.  
hyperbolic problem은 wave equation처럼, boundary condition도 중요하지만 

initial condition이 지속적으로 영향을 미치는 문제입니다.
Equation의 종류에 따라 어떤 numerical method를 써야 할지를 생각해 볼 필요가 있습니다.

 

FDM, FVM, FEM, BEM

FDM, FVM, FEM, BEM의 특징들을 살펴보겠습니다.

기본적으로 이런 형상의 exact solution을 numerical method로 풀기 위해선

기본적으로 discretize(이산화)를 해야 합니다.

 

FDM

FDM은 특정 point에서 두 번 미분한 값을 앞 point와 뒤 point를 이용해

Taylor series로 approximation을 하여 구합니다.
따라서 특정 지점의 기울기와 곡률(curvature)을 잘 맞는 식으로 boundary condition을 적용하면 문제가 풀립니다.

FDM은 특정 point의 인접 point를 이용하여 미분 값을 approximation 하는 식을 새워서 

differential equation을 만족시키게 문제를 풉니다.

 

FDM은 domain approximation이고, 

exact boundary condition을 사용하며, point-wise approximation입니다. 
또한 FDM에서는 grid라는 용어를 사용합니다. 

 

FDM은 point-wise approximation이기때문에 governing equation이 중요하며, strong form을 사용합니다.

 

FEM

FEM은 같은 discretize를 해도 element 내에서 approximation을 하게 됩니다.
예를 들어 continuous한 element는 이렇게 직선으로 approximation을 할 수 있습니다.
Linear approximation을 한다면 두 점을 직선으로 그을 수 도 있습니다.
즉, element 내부에서 error를 minimum으로 만드는 element function을 정의합니다.
Constant function, linear function, quadratic function, cubic function 등 

integral equation을 minimize하는 식을 사용 하여 문제를 푸는 것이 FEM 입니다.

FEM은 각 element의 approximation function 정의하고 

reformulation을 해서 weak formulation을 0으로 coefficient를 찾아서 문제를 풉니다.

FEM 역시 domain approximation이며 exact boundary condition 사용하지만, 

element-wise입니다.

element-wise의 의미는 다음과 같습니다.
전체 element에서 Constant인지 linear인지를 확인을 합니다.

FEM은 average 개념으로 element에서 average를 minimize 하기 위해 average를 integral을 합니다.
따라서 weak formulation을 사용합니다.

그리고 Mesh라는 element 개념을 사용합니다.

 

 

BEM

BEM은 FEM하고 유사하지만 domain을 푸는 것이 아닌 boundary를 풉니다.
따라서 BEM은 boundary approximation을 사용합니다.
또한 exact governing equation을 풉니다.

FVM

FVM은 element를 가지고 처음부터 conservation law를 formulation하는 것입니다.
기본적으로 differential equation이 conservation law에서 유도된 것이기에, strong form에서부터 출발한다고 생각하셔도 괜찮습니다.

 

 

 

domain approximation, boundary approximation, 

혹은 point approximation, element approximation 등의 차이가 있으며,
이를 이해하기 위해 strong form과 weak form과 같은 integral equation을 대해 다루었습니다.
또한 integral equation 이해를 위해 inner product를 다루고 Hilbert space에 대해서도 공부를 하였습니다.
Hilbert space에서부터 numerical method까지 순서대로 다뤄보았습니다.
initial condition과 boundary condition의 영향이 어떻게 combination 되어 있는지에 대하여 이해를 하고 있으면 numerical method의 적용에 많은 도움이 될 것입니다.