Direct approach (Seong-Jin Park, POSTECH) 8_1_2

Coordinate Transformation

한국말로는 '좌표변환'이라고 할 수 있는데 Direct approach로 푸는 방법은 너무 복잡하고 비논리적이라고 생각하여 local coordinate system에서 element를 만들어서 global로 갈 때는 coordinate transformation을 적용하는 새로운 방법이다.

한국말로는 '좌표변환'이라고 할 수 있는데 Direct approach로 푸는 방법은 너무 복잡하고 비논리적이라고 생각하여 local coordinate system에서 element를 만들어서

global로 갈 때는 coordinate transformation을 적용하는 새로운 방법입니다.

 

global에서는 x방향과 y방향 모두 존재하는데 local에서는 한 node에서 x방향밖에 없습니다.

y방향의 displacement인 v를 완전히 배제시킴으로써 문제를 심플하게 만들어주는것 입니다.

 

One-dimentsional 문제에서 two-dimentsional로 바뀌려면 좌표변환(coordinate transformation)을 해야 합니다.

directional cosine matrix를 만들어 주는 겁니다.

이렇게 하여 element stiffness matrix는 local coordinate에서 만들고

 element matrix에 coordinate transformation rule을 적용하여

global coordinate에서 element matrix를 만들면 어떨까 하는 것입니다.

1-D문제이니까 심플하게 다음과 같이 되었습니다

global에서 로컬로 가는것 global에서 local로 가는 것을 파이라고 하며, 이와 반대를 파이 인버스라고 합니다.

기계과가 아니라서 stiffness matrix가 무엇인지는 모르겠지만 결과적으로 구하고 싶은 k를 구할 수 있다라고 생각할 수 있습니다.

정리하자면 글로벌로 푸는것 보다 로컬로 간단하게 구한후 좌표변환을 통해 global을 푼다' 라고 정리 할 수 있겠습니다.

 

설명 첨부

1. 그리고 이 두 개는 transpose하면 됩니다. 왔다 갔다 하는 거니까 그렇게 하여 element에서의 stiffness matrix를 local coordinate에서 구하고 그 다음 이것은 무엇인가요? 이것은 kx=F 이렇게 되어 있지 않습니까 그래서 이것은 x에 의한 것입니다.
2. 그리고 F도 방향이 있으니까 바꿔줘야 됩니다. 따라서 F가 이항되면 다음과 같이 됩니다.
3. 그래서 stiffness matrix를 global로 바꿔주려면 파이inverse와 파이를 같이 곱해 주어야 하는 겁니다.
4. 따라서 구해보니 y가 1만큼 움직인 것을 이용하여 구한 것과 정확히 똑같다는 겁니다.
5. 여러분은 어떤 것을 선택할 거 같습니까?
6. local coordinate를 사용해서 아주 단순하게 element에서 stiffness matrix를 만들어 놓고 그 다음 좌표변환을 통해 global matrix를 만들겠습니까? 아니면 처음부터 global coordinate system만 쓰겠습니까?
7. 저 같으면 local coordinate를 사용하여 좌표변환 하는 것을 사용하겠습니다.
8. 그리고 이 coordinate transformation matrix는 항상 inverse와 곱하면 다음과 같습니다.
9. 즉, identity matrix가 되는 것입니다. 그러나 거꾸로 곱하게 되면 identity matrix가 되지 않습니다. 그 이유는 잘 한번 생각해 보시기 바랍니다.
10. 그래서 지금 nodal force에 대해서는 다음과 같은 식들이 생긴 것입니다.
11. 이 부분에 대해서는 여러분들이 한번 생각을 해보시기 바랍니다.
12. 이것은 dimension이 틀려져서 나타나는 현상입니다. Unknown이 2개가 없어져서 나타나는 현상인데 사실은 두 개를 적용해서 하면 똑같아집니다. 이것은 여러분들이 스스로 한번 해보기 바랍니다.
13. 오늘 one-dimension에 대해서는 완전히 one-dimension인 예제 3가지 문제를 풀었고 또 하나 two-dimension 인데 one-dimensional element에 대해서 direct approach로 풀어보았습니다.
14. 그리고 assembly 할 때는 physical meaning이 있어야 하며 local과 global이 다르다면 coordinate transformation rule을 쓰면 간단하다는 것을 배웠습니다.