슈뢰딩거방정식 [양자역학]

 

  슈뢰딩거 방정식은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.

슈뢰딩거 방정식은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는

선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고

그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.

 

우선 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식이 중요한 이유를 먼저 알아보자.

 

불확실성 원리 

 

운동하는 물체는 파동성으로 인해 물체의 입자적 성질 측정에 대한 정확도에 한계가 있어서

운동하는 물체는 물질파로 생각해야한다.

 

운동 중인 입자의 위치와 운동량을 측정할 경우의 불확실성 관계는 다음과 같다.

ΔxΔp ≥ h/2π

공식만 보면 감이 잘 안올 수도 있는데 문제를 통해서 알아보겠다.

 

전자의 위치가 1[Å] 이내까지 결정될 수 있을 때, 운동량의 최소 불확실성이 어느 정도인지 구하라

 

Δp=1.06x 10^−34[Js] / 1x10^-10[m] = 1.06 x 10^-34 [Js]

 

즉 위치의 불확정성이 1[Å] 인 경우 측정되는 운동량은 최소 1.06 x 10^-34 [kg.m/s]의 오차를 갖는다고 생각할 수 있다.

 

ΔpΔx = ΔpvΔt 

 

E=1/2 x mv^2 = p / m 이므로 

 

ΔEΔt ≥ h/2π

 

즉, 한정된 시간 동안 입자의 에너지(또는 주파수)를 측정할 때 정확도에 제한이 있다.

 

 

확률밀도함수(probability density function)

 

확률밀도함수는 단위체적(면적또는 길이)에서 한 입자를 발견할 수 있는 확률로, 양자역학으로 구할 수 있다.

 

확률밀도 함수가 P(x)일 때 임의의 범위 x ~ x+dx에서 입자를 발견할 확률은 P(x)dx이다. 

 

만약 입자가 존재한다면, 전체 범위에 대해서 입자를 발견할 확률은 1이므로 ∫[-∞,∞]P(x) dx = 1

 

왼쪽 식과 같이 normalization(정규화) 되는것을 알 수 있다.

 

 

 

 

입자가 갖는 물리량이 x에 대한 함수 f(x)로 주어지면, 이 함수의 평균값 또는 기댓값을 <f(x)>를 아래식과 같이 정의한다.

 

 

 

 

 기댓값(expected value)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다.

 

 

 

 

 

파동방정식

슈뢰딩거의 파동방정식은 고전역학의 에너지 관계로부터 얻을 수 있으며 경계조건을 대입하여 자유전자(입자), 무한 전위우물 및 원자 내에서의 파동방정식을 유도할 수 있다. 

 

<가정>

1.물리학적 공간의 입자는 Ѱ(x,y,z,t)로 표현되며, Ѱ와 일차도함수 Ѱ'(=∇Ѱ)는 연속, 유한 , 단일 값을 갖는다.

2.입자가 갖는 물리량인 에너지, 운동량은 아래와 같이 추상적인 양자역학적 매개변수(operators)와 관련된다.

 

∇는 삼차원 미분연산자이다

미소체적소 dv에서 파동함수 Ѱ(x,y,z,t)의 입자를 발견할 확률은 Ѱ*Ѱdxdyd 이고 ∫[-∞,∞]Ѱ*Ѱdxdydz=1

고전 방정식에 양자역학 매개변수를 대입하면 슈뢰딩거 파동방정식을 얻을 수 있다.

 

변수 분리법을 사용하여 시간독립 파동방정식과 시간종속 파동방정식을 얻을 수 있는데 

변수분리법을 사용하면 간단히 분리되므로 과정은 생략하겠다.

 

 

 

<요약>

1.양자역학의 세계에서는 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정하는데 오차가 발생한다. 

그러므로 운동하는 물체는 물질파로 생각해야한다.

2.슈뢰딩거는 에너지의 고전방정식에 양자역학적 매개변수를 대입하여 슈뢰딩거 파동방정식을 고안했다. 

3. 파동함수로부터 어떤 측정 결과의 확률분포를 알 수 있다.