제어시스템 설계 (Week6)

인풋을 받아서 아웃풋이 나오는데 원하는 아웃풋과 비슷해야 한다.

 

타임과 주파수 영역에서 모델링 하는 법을 배웠었다.

모델링을 했으니 평가를 하는 도구들을 배웠었고 

폴과 제로들이 있었다.

 

폴은 전달함수를 무한대로 만드는것

즉 분모를 0으로 만드는것이었죠 

 

제로라고 하는것은 분자를 0으로 만드는것이었다.

 

폴은 네츄럴 리스폰스

인풋의 폴은 

폴이 주어졌을 때 s plane에 표기를 한다.

폴이 허수 영역에만 존재하면 undamped 한다고 했었고 

제타가 0에서 1 사이에 있을 때 underdamped 

실수만 가질 때 critically damped 

1보다 클 때 실수 영역만 남을 때 => overdamped

 

폴을 s 플레인에서 라플라스 변환을 통해서 

폴의 위치를 찾아보면 시스템의 반응을 분석할 수가 있었다.

 

면접관이 되어서 지원자들을 판단하는 기준이 있을텐데

라이즈 타임, 피크 타임등이 있을 텐데 

10퍼센트에서 90퍼센트까지 갈 때 걸리는 시간 

피크 타임은 피크를 칠 때 까지 걸리는 시간 

 

%OS 

 

settling time  +-2%

네츄럴 프리퀀시 

대각선의 거리

 

뎀핑 레이시오는 원점으로부터의 기울기였고 

 

뎀프드 주파수는 허수부에서 만났을 때는 뎀프드 프리퀀시 

 

실수부에서만나면 exponential

 

폴이 멀어질 수록 피크 타임이 줄어든다.

세틀링 타임은 허수축에서 멀어지는거에 따라서 

세틀링 타임이 짧아진다.

 

%OS는 뎀핑 레이시오와 연계된다. 

 

에디셔널 폴이 존재할 때

특정폴이 다음 시스템에 영향을 많이 준다.==>도미넌트 폴

두개의 폴이 시스템을 예측하는데 사용이 되면 

두개의 폴이 세컨오더 시스템인것 처럼 사용할 수 있다.

 

두개의 폴이 있으면 2nd 시스템처럼 취급하고 나머지 폴은 무시할 수 있다.

폴이 세개 일 때 

타임 도메인에서 state response를 구할 수 있다.

 

코사인과 사인을 

라플라스 인벌스 트랜스폼을 할 때 

사인과 코사인으로 변경했을 때 쉽게 만들 수 있어서

 

폴이 세개인데 알파r이 

이 위치에 따라서 리스폰스를 예측할 수 있다.

알파 r이 엄청 크면 

리얼파트의 5배 보다 크면 세컨오더 시스템 처럼 해석 가능하다. 

폴이 붙어 있으면 무시할 수 없어서 새로 추가된 폴에 대한 응답

case I의 경우 무시할 수 없어서 에디셔널 폴에 대한 내용이 들어온다.

 

제로를 추가했을 때 

투폴 시스템에 제로를 추가했을 때 

 

폴이 두개가 있으면 제로를 어딘가에 추가를 시켜주는것이죠

리스폰스가 어떻게 되는가 

제로는 시스템의 특성을 변경하지는 못한다. 

제로가 추가되도 시스템의 특성을 변경하지 못한다. 

제로도 도미넌트 폴에 붙어있는가 아닌가에 따라서

영향이 커지기도 하고 작아지기도 한다.

 

폴과 제로가 멀다고 했을 때 

게인만 증가시키고 특성을 변화시키지는 못한다.

 

제로를 더한다는것은 

c(s)는 결국 (s+a)(c(s))=s.c(s)+a.c(s)

어떤 부분이 더 반응을 보이는가 

 

a가 크면 scaled version of the original response가 더 영향을 많이 미친다.

a가 크지 않으면 골고루 섞여서 반응을 하고 => 추가적인 오버슛을 만들어 낸다

a가 네가티브인 경우 우측에 제로가 위치하게 되는데

스케일드 버전이 반대의 사인을 갖는 반응을 보여준다. 

반대로인 사인을 갖게 되는데 

 

 

제로가 s플레인에서 우측에 위치했을 때

그럴 때는 반대의 성향을 보여서 

 

Non-mimimum phase system에서 

a가 작더라도 

이런 부분이 존재한다. 

좌측으로 흘렀다가 우측으로 커멘드를 먹을때 이런 경우 ==>a 때문에 발생하는 현상이다.

 

nonlinearities 컴포넌트를 추가했을 때 

어떤 반응이 생기는가

두기어가 맞물려 있으면 맞물려서 안움직이는 영역이 백레쉬

 

 

타임 리스폰스가 어떻게 변하는가

교재에서 사용하는 예제는 안테나 시스템이다.

엥귤러 인풋을 줬을 때 전압으로 변환되는데

 

세츄레이션 턺을 추가했더니 세츄레이션 턺 때문에 얻을 수 있는 벨로시티가 줄어든다.

 

데드존: 인풋을 넣어도 반응이 없던 구간 

이구간을 보기 위해서는 사인웨이브를 넣어주고 

아웃풋은 얼마나 돌아가는지 보여주는데

 

데드존을 추가시키면 

인풋볼트가 문턱 전압보다 커지면  동작을 하는데 

 

벡리쉬는 

핏이 맞지 않아서 2가 돌아가지 않는 그런 구간이 존재하는데

없을 때는 검은선 있을 때는 파란선인데 

안테나의 방향이 변경됬을 때 

2번이 바로 반대 방향으로 돌고 싶지만 

핏이 맞을 때 까지 움직이지 않다가

핏이 맞으면 반응하게 되는 그런 예제

 

시스템이 폴과 제로를 이용해서 응답을 분석했었는데

타임 도메인에서 state space representaion에서는 폴과 제로가 없나요?

 

하나가 스테이트 equation 

하나가 output equation 

ss에서 TF로 보낼 때 initial 컨디션이 제로다.

 

 

이런것 없이 스테이트 equation을 라플라스 트랜스폼을 해보자

시스템의 전달함수를 구하는데 

인풋은 u로 풀이되있고 

아웃풋은 y로 되어있고 

트랜스폶 함수는 y/u인데 

 

A의 고윳값을 구하면 폴과 같이 사용할 수 있다.

 

타임 도메인 솔루션을 이용해서 

시스템 리스폰스등을 모델링 할 수 있다.

A에서의 리스폰스를 구할 수 있게 되는것 

갑툭튀 했는가 ==> 부록에 나와있다.

 

스테이트 트렌지션 메트릭스를 구하기 위함이다.

 

인풋이 제로라고 가정했을 때 x(t)가 t로만 이루어진 함수라고 가정하면 

이 함수를 미분하면

우항은 A가 있고 

각항을 비교하면 

X(t)는 b0의 식으로 정리가 되고 

스테이트 트렌지션 메트릭스가 된다.

4.1장에서 하는것은 스테이트 

x(t)가 t로만 이루어진 함수로 가정한것 

어떤 타임이든 타임 t에서의 스테이트를 구할 수 있다. 

 

제로인풋 리스폰스는

인풋이 0일 때 

파이 t가 스테이트 트랜지션 이었고

초록색 부분은 이니셜 벨류가 제로 일 때 

==>인풋에만 영향을 받는 리스폰스

 

파이티와 초기값만 알면 어떤 값이라도 알 수 있다.

 

 

라플라스 영역에서 

스테이트 트렌지션 메트릭스 구하는 방법이 있는데

s 플레인에서 스테이트 equation인데 

두개를 보면 구하고자 하는것은 

파이 t였는데 

인풋이 제로일 때는 

스테이트 트렌지션 메트릭스는 

인벌스로 구할 수 있다. 

라플라스 트랜스폼을 이용해서 

파이 t를 구할 수 있다.

 

 

라플라스 트랜스폼 없이 풀어보면 

 

 

라플라스 변환을 사용해서 풀 때

수고 수고