제어시스템 설계 (Week4)

1장에서 제어시스템 정의 

인풋이 있을 때 시그널을 적절히 조절해서 아웃풋을 만들어내는거

 

3장은 타임 도메인에서 모델링 하는 방법입니다. 

why?

classical을 적용할 수 있는 도메인이 한정적이다.

선형 시불변에서만 가능하기 때문에.

타임 도메인에서 어프로치를 state-space approach라고 부르는데 

배우는 이유는 

더 general하기 때문입니다. lti가 아니여도 적용이 가능하다.

깔금하지 않고 직관적이지 않다는 단점이 있다.

 

state-space 어프로치는 

타임 도메인에서 물리적인것을 어떻게 표현할것인가?

크게 다섯가지 스텝으로 진행되는데

 

1.스텝의 모든 변수들 중에서 일부변수를 고르는것 입니다. 

인풋과 아웃풋이 주어졌을때 

subset을 말하고 선택된 varible을 state-variable이라고 합니다.

 

2.state 미분 방정식을 세웁시다. 

n개의 1차원 미분 방정식을 찾는거에요.

 

3.initial condition을 체크합니다.

 

4.아웃풋 방정식을 세웁니다. 리니얼 컴비네이션으로 표현되는 방정식을 세우고

 

5. 최종적인 시스템을 state -space에서 표현을 합니다.

 

 

어떤 시스템은 5가지 스텝을 표현할 때 사이즈가 크다 작다할텐데 

그것들은 state-space에서 표현할 때 인풋과 아웃풋의 수로 사이즈가 

크다 작다를 표현할 수 있어요. 가장 최소한의 state들만 사용을 하게되는데

최소한의 스테이트는 선형적으로 독립이어야 합니다.

 

스테이트를 최소로 정하기 때문에 스테이트 변수들이 시스템의 크기를 좌우합니다.

 

인풋과 아웃풋의 갯수에 따라서 SISO와 MIMO로 나뉜다. 

n차원 벡터로 표현 가능한 MIMO가 더 크다.

 

 

물리적 시스템을 타임 도메인에서 표현하기 위해서 예제를 가지고 살펴봅시다.

 

1. 스테이트 변수를 찾습니다. (시스템 변수>스테이트 변수)

RLC 회로는 전류 it와 전하 qt가 있겠죠 

시스템을 표현을 하게 됩니다.

 

시스템을 표현할 때 사용할 변수들

미분방정식을 세울 때 s 플레인으로 라플라스 변환을 해서 풀었을때

스텝들이죠 시스템의 미분방정식을 세우고 s plane으로 푸는게 2장에서 배웠던 

어프로치였는데 

2.앞에서 찾았던 변수들로 미분방정식을 세우는것 입니다.

 

 

3.이니셜 컨디션을 찾고

 

 

4.아웃풋식을 세우고

 

5.SS representation

qt와 it를 벡터꼴로 만들어준다. 

2번과 4번에서 나왔던 방정식들이 있는데 

키르히호프 법칙을 이용해서 2번을 

스테이트 벡터 x를 2번에서 세웠던 방정식으로 표현이 가능합니다.

 

 

 

 

일반화해서 정리해보면 선형 조합과 리니얼 독립 개념을 알아야되요

 

n개의 변수가 있다고 할 때 n개의 변수로 표현되는 컴비네이션은 n개의 변수들의 선형 결합으로 

나타낼 수 있다. 

ki는 계수입니다. 

 

새로운 변수 A를 변수 B와 C의 선형 조합으로 표현할 수 있으면 ==> 선형적으로 종속이다.

이렇게 표현할 수 없으면 independent하다.

 

 

시스템 변수를 봤었는데 모든 변수들을 말하고 

그중에서 더 관심있는것은 스테이트 변수들이다.

subset인데 선형 독립이고 이것으로 시스템을 표현할 수 있다.

 

시스템의 모든 변수들을 스테이트 변수로 구할 수 있다.

 

스테이트 벡터는 변수들을 벡터 형태로 표현한것

 

스테이트 스페이스= 스테이트들을 축으로하는 n 차원으로 표현한것 

 

n개의 스테이트가 있으면 n개의 1차 미분방정식이 있고 

그것들은 어떤 스테이트와 인풋의 선형 조합으로 표현되고 

A는 시스템 메트릭스로 표현을 하고 B는 인풋 

 

 

 

표현을 해보면 조건들이 있는데 

 

STATE REQUIREMENT 

1.STATE는 선형독립이어야 한다.

2.시스템의 차수와 스테이트는 최소의 개수이면서 시스템을 표현하기 충분해야한다.

 

만약 위의 조건을 어기면 모델링을 할 수 없습니다.

 

추가적으로 스테이트를 더 표현한다면 

두가지 다른 케이스가 있는데 추가한 상태가 서로 INDEPENDENT하다면 

서로 중복되기 때문에 이렇게 할 필요가 없다. 

=>미분방정식의 차수만큼의 스테이트가 있으면 시스템을 표현할 수 있다.

 

LINEAR DEPENDENT를 추가하면 불필요한 추가가 되고 계산만 길어진다

=>최소한의 STATE를 선택해서 물리시스템을 표현을 한다.

 

예제를 통해서 알아봅시다.

그림에서 보이는 회로

 

Vl을 스테이트 변수로 표현해야됨

 

 

 

TRANSFER FUNCTION을 STATE SPACE로 표현 

원래는 라플라스 트랜스폼으로 구했었는데 

원래 시뮬레이션 하려면 타임도메인으로 바꿔야하는데 

그 이유는 타임도메인으로 바꿔야만 시뮬레이션하기 쉽기 때문입니다.

 

전달함수가 주어졌을 때

미분방정식을 구하고

STATE REPRESENTATION 하겠다.

 

STATE 변수를 정할때 PHASE 변수를 정하는것 입니다. 

X1,X2,X3,, 간다면 

X2가 X1의 미분꼴로 표현이 된다는 말입니다.

페이저 변수를 스테이트 변수로 사용하면 

변환할 때 간단해지기 때문이다.

 

그 전상태가 그 다음상태의 미분으로 표현이 되기 때문이죠

 

TRANSFER FUNCTION을 INVERSE LAPLACE해서 TIME 도멘인으로 바꾸는데 

타임도메인은 STATE SPACE로 표현이 되고 이것을 해야 시뮬레이션을 할수있다.

라플라스를 이용해서 TF까지는 구하고 

다시 인벌스해서 미분방정식을 구한 다음에 

그것을 STATE SPACE로 표현한다.

예제를 봅시다. 

 

전달함수를 받았고 

라플라스 역변환을 합니다. 

 

 

 

스테이트 스페이스=> 전달함수 구하기 

초기조건이 0일때 

어거지로 다들었다,,