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Coupon Collector 문제 n 가지 장난감을 모아야 전체를 모은다고 할 때, 장난감 전부를 모으는 데까지 걸리는 시간 T(뽑아야 하는 장난감 수)의 기댓값을 구하시오 n 종류 각각의 장난감을 구분하기 위함이죠 나올 확률이 모두 같다고 합시다. 얼마나 많은 장난감을 사야하는지에 대한 척도가 될것이다. 모든 종류의 장난감을 모으기 위한 척도 T (뽑아야 하는 장난감 수) T1= 첫번 째에 이전에 가지고 있지 않았던 장난감을 모으는데 걸리는 시간 T2= 새로운 두번째 장난감이 나올 때까지 걸린 추가 시간 T3= 새로운 세번째 장난감이 나올 때까지 걸린 추가 시간 T2-1 ~ Geom(n-1/n) Tj -1 ~ Geom(n-(j-1)/n) 위의 경우에 위의 T들은 독립이지만 선형성은 이들이 독립이 아니..

균등분포의 보편성 F가 증가하는 CDF라고 할 때, u가 0에서 1까지의 균등분포이면==U∼Unif(0,1)이면 X^-1(U) ~ F이다. 이론상으로는 0에서 1까지의 균등분포를 가지는 확률변수로 우리가 원하는 어떠한 형태의 분포를 가지는 확률변수를 만들 수 있는 겁니다. 시뮬레이션할 때 쓰인다고 합니다. F의 분포를 가진 제비뽑기를 모의로 실행할 때 다른 연속분포보다 만들기 쉬운 균등분포를 만든 후 F^-1(u)를 계산하면 되는것 입니다. 하지만 F의 역함수를 찾는것이 쉽지는 않습니다. 이론상으론 균등분포에서 모든 형태의 분포로 전환할 수 있습니다. 반대로 X를 알고 있을 때 X ~ F이면 F(X) ~ Unif(0,1)이다. X가 F의 분포를 가질 때 F(X)를 계산하면 0~1까지의 균등분포가 나오는것..

이산확률변수 vs 연속확률변수 확률밀도함수(Probablity Density Function)[PDF] 연속확률변수에서 PMF(확률질량함수)를 사용하게 되면 모든값이 0일것이다. 그래서 확률밀도함수가 필요한데 확률변수 X가 모든 a,b에 대하여 P(a

확률변수와 확률질량함수는 엄연히 다른것이다. P(X=x)+P(Y=y) x에 관한 함수 y에 관한 함수 x+y의 확률질량함수를 구하고 싶으면 x+y가 확률변수여야 합니다. x+y에 관한 함수가 필요한 것 입니다. '지도는 영토가 아니다' 확률변수는 집이다. 분포는 집의 설계도 입니다. 하나의 설계도를 가지고 여러개의 집을 만들 수 있습니다. 아주 많은 다른 확률 변수들이 같은 분포를 가질 수 있습니다. 독립적일 수도 있고 독립적이 아닐 수도 있습니다. 이제 이걸 확률 집이라고 할 겁니다. 분포가 확률 집을 지을 때 쓰이는 설계도라고 하면 확률변수는 그 확률 집 중의 하나인 겁니다. 설계도는 문의 위치나 방의 구조를 말해준다기 보다는 특정 확률을 가지고 무작위로 문의 색을 빨강 혹은 파랑으로 정하는 겁니다...

평균을 구하는 두 가지 방법 1. 요소별 총합을 총 개수로 나눔 2. 각 요소에 빈도 수(가중치)를 곱함 이 때, 가중치의 합은 1 확률변수의 기대값(Average, Mean, Expected Value) 1.이산확률변수X의 기대값은 다음과 같다. 이 정의를 이용하여 다양한 종류의 이산확률변수의 기대값을 구해보자. 2. 베르누이 확률변수의 기대값 (Recap) 확률변수 X가 베르누이 분포를 따른다는 것은 X가 0과 1 값만을 가질 수 있을 경우를 말하고, 이 때의 X가 베르누이 확률변수 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p 3. 지시확률변수의 기대값 지시확률변수(Indicated Random Variable)란? : 사건 A의 발생 여부에 종속하여 특정 값(1, 0)을 갖는 변수 표본공간 S의 사건 A가..

누적분포함수(CDF): F(X) = P(X

확률변수(Random Variable): 표본공간 S로부터 실수 체계 R로 '맵핑' 하는 함수 베르누이 확률변수 X가 실패(0) 성공(1) 두 가지의 값만 가질 수 있으며, P(X=1)=p P(X=0)=1-p X는 Bernoulli(p) 분포를 따른다고 한다. 이항 확률변수 n번의 독립적인 베르누이(p) 시행에서 성공 횟수의 분포는 Bin(n,p) 를 따른다고 한다. 이항확률변수의 확률질량변수(PMF) 이항확률변수의 특징 X ~ Bin(n,p), Y ~ Bin(m,p) 일 때, X+Y ~ Bun(n+m,p) 를 따른다. 이항분포 Bin(n,p) parameter n,p(n은 양의 정수, p는 [0,1] 사이의 값)에 의해서 분포가 결정됨 확률분포를 해석하는 방법 X~Bin(n,p) 의미 n번의 독립적인 ..

Gambler's Ruin(도박꾼의 파산): A와 B 두 명의 도박꾼이 매 라운드 $1씩 걸고 도박을 한다. 이긴 사람은 상대방의 $1을 가져가고, 둘 중 한 명이 가지고 온 돈이 바닥날 때까지 이 과정을 반복한다 그렇다면 , 이 게임은 영원히 진행될까 ? 아닐까? 문제풀이 전략: 첫 단계에서 조건을 세운다 정의: p의 확률로 A가 1달러를 더 얻고, q의 확률로 1달러를 잃는다. 0, N은 흡수상태(absorbing state)라 하여, 게임 종료를 나타낸다. P(i) : A가 i달러로 게임을 이길 확률 이 문제의 경우에는 특정 수를 정하고 생각하기 보다는 일반적인 경우를 찾는것이 더 쉽다. P(i) = p * p(i+1) + q * P(i-1) guessing을 통한 풀이 더보기 Pi=xi라 추측을 ..

독립 정의: P(A∩B)=P(A)P(B)이 성립할 때, 사건 A와 B는 독립이다. ※ disjoint(서로소) != independence(독립) A와 B가 서로소인 경우는 A가 발생하면 B는 발생할 수 없다. 반면에 A와 B가 독립이라면 A의 발생은 B 발생에 어떠한 영향도 끼치지 않는다. 조건부 확률 새로운 정보를 얻었을 때, 기존의 ‘믿음/불확실성(uncertainty)’을 어떻게 업데이트할 지 대한 문제다. 직관적인 이해를 돕기 위해 '조약돌 세계'를 생각해보자. 독립과 조건부 확률을 통해 3가지 공리를 끌어낼 수 있다. 1. 조건부 확률의 정의에 P(B) 혹은 P(A)를 곱해주면 된다. 2. Chain Rule을 적용하면 아래처럼 증명할 수 있다. 3. 1번의 P(A∩B) = P(A|B)P(B)..

수학팀:김정민 박형준 최웅준 구예인 확률의 naïve 한 정의 각각이 일어날 가능성이 모두 같다고 한다면 특정 사건에 대한 확률을 구할 때 단순히 몇 번 발생하는지 세서 전체로 나누면 되는것 ==>naive definition 만족 시켜야할 조건 - 모든 사건이 발생할 확률은 같다 - 유한한 표본공간 셈 원리(Counting Principle) 곱의 법칙: 발생 가능한 경우의 수가 n1,n2,...,nr 가지인 1,2,...r 번의 시행에서 발생 가능한 모든 경우의 수는 n1 x n2 x...x nr 이다. 이항계수(Binomial Coefficient): Non-naïve definition of probability Birthday Problem k가 몇 명 이상이어야 같은 생일을 가진 사람들이 있을..