FIELDS IN MEDIA AND BOUNDARY CONDITIONS

앞 절에서는 매질이 없는 자유공간 내에서 전계와 자계의 존재를 가정하였다.

실제에 있어서 매질은 흔히 존재하기 때문에 해석을 복잡하게 하지만,

매질 특성은 마이크로파 부품을 유용하게 응용할 수 있게 한다.

매질 내에 전자계가 존재할 경우, 계의 벡터는 구조적인 관계에 의해서 서로 연관된다.

유전체에 있어서 인가되어진 전계 E는 총 변위전속 D를 증가시키는 전기적 다이폴 모멘트를 발생시키기 위하여 

매질의 원자 또는 분자의 분극(polarization)을 발생시킨다. 

이 부가적인 분극 Pe를 전기 분극 벡터라고 하며 

위와 같이 표현된다.

 

선형 매질 내에서 전기 분극 벡터는 다음과 같이 인가되어진 전계와 선형적인 관계를 갖는다.

χe, which may be complex, is called the electric susceptibility

χe==>전기 분극률

 

전기 분극률항을 대입하면 위와 같이 된다.

 

ε은 매질의 복소 유전율(complex permittivity)가 된다. 

ε의 허수부는 진동하고 있는 다이폴 모멘트의 제동(damping)에 기인한 매질 내의 손실을 설명하는 항이 된다.

==>자유공간 내에서 ε는 실수이며 손실이 없다.

에너지 보존 법칙에 의해서, ε의 허수부는 음수가 되어야 한다.(ε''는 양수)

유전체의 손실은 등가적인 도체 손실로 간주할 수 있다.

 

도전율 σ를 갖는 매질 내에서는 전도 전류밀도가 존재하며 다음과 같이 나타낸다.

In a material with conductivity σ, a conduction current density will exist:

이는 전자계의 관점에서 Ohm의 법칙에 해당한다.

 

H의 Maxwell의 회전(curl) 방정식은 

유전체 제동에 의한 손실(ωε'') 도체손실(σ)과구별되어지지 않음을 알 수 있다.

ωε''+σ 항은 실효 도전율로 간주할 수 있으며

관심대상의 양은 다음과 같이 정의되어지는 손실 탄젠트(loss tangent)

로써 전체 변위 전류의 실수부와 허수부의 비로서 나타내어진다. 

마이크로파 매질은 보통 실수의 비유전율(유전상수)^2 

ε'=εrε0과 어느 주파수에서의 손실 탄젠트로서 특정지어진다.

손실이 없는 유전체를 가정하여 문제를 해결한 다음에 

실수 ε값 대신 복소 유전율 ε=ε'-jε''=ε'(1-jtan δ)=εrε0(1-jtan δ)=εrε0(1-jtan δ)로

대치함으로서 손실이 있는 경우의 문제를 해결할 수 있다.

 

Isotropic 매질은 등반성 매질로 

Pe와 E가 동일한 방향 선상에 있는 벡터로 가정한다.

 

하지만 모든 매질이 이러한 특성을 갖는 것은 아니다.

이러한 매질은 비등방성 Anisotropic 매질로서 

Pe와 E 또는 D와 E 사이에 좀더 복잡한 관계를 갖는다.

 

이 두 벡터 사이의 가장 일반적인 선형 관계는 랭크(rank)가 2인 텐서(tensor)의 형태가 되며 

다음과 같은 행렬(matrix)의 형태로 표현할 수 있다.

 

주어진 E의 한 벡터성분은 일반적으로 3개의 D성분을 발생시킴을 알 수 있다.

결정구조와 이온화된 가스들은 비등방성 유전체의 예이다. 

 

선형 Isotopic 매질의 경우 위의 식 행렬은 원소 ε을 갖는 대각 행렬(diagonal matrix)로 될 것이다.

 

자성체에 있어서도 유사한 상태가 나타난다. 

인가된 자계는 자기 분극벡터 Pm을 발생시키기 위하여 자성체 내에서 자기 다이폴 모멘트 방향을 정렬시킨다.

선형 자성체에 있어서 Pm은 다음과 같이 H와 선형적인 관계를 갖는다.

χm is a complex magnetic susceptibility

==>자기 분극률

µ = µ0(1 + χm) = µ' − jµ'' is the complex permeability of the medium.

매질의 투자율(permeability)이다.

 

Again, the imaginary part of χm or µ accounts for loss due to damping forces; there is no magnetic conductivity because there is no real magnetic current. As in the electric case, magnetic materials may be anisotropic, in which case a tensor permeability can be written as

다시 말하지만, χm 또는 µ의 허수 부는 감쇠력(damping force)으로 인한 손실을 설명합니다.

실제 자기 전류가 없기 때문에 자기 전도도(도전율)가 없습니다.

유전체의 경우와 마찬가지로 자성 물질은 비상등성 일 수 있으며,이 경우 텐서 투자율은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

마이크로파 공학에서 비등방성 자성체의 중요한 예는 페라이어트로 알려진 페리 자성체류이다.

 

선형 매질(ε, µ not depending on E¯ or H¯)을 가정하면 

Maxwell 방정식은 다음과 같이 페이저 형태로 나타낼 수 있다.

ε와 µ는 일반적으로 복소량 또는 텐서이다. 

바로의 위와 같은 관계식은 선형매질의 경우에도 시간영역의 형태로 나타낼 수 없다.

그 이유는 D와 E 또는 B와 H사이의 위상천이(phase shift)가 존재할 수 있기 때문이며

복소 ε와 µ에의한페이저표현으로이위상천이가포함되어지게한다.

미분형  Maxwell 방정식의 완전하고 유일한 해를 구하려면 경계조건이 필요하다.

이 책에서 사용되는 일반적인 방법은 미지의 계수를 갖는 해를 구하기 위해서 

어느 영역 내에서 전자계원이 없는 (source free) Maxwell 방정식을 풀어내는 것이며

그 다음 이들 계수를 구하기 위하여 경계조건을 적용하는 것이다.

 

where ε and µ may be complex and may be tensors. Note that relations like (1.28a) and (1.28b) generally cannot be written in time domain form, even for linear media, because of the possible phase shift between D¯ and E¯, or B¯ and H¯ . The phasor representation accounts for this phase shift by the complex form of  and µ. Maxwell’s equations (1.27a)–(1.27d) in differential form require known boundary values for a complete and unique solution. A general method used throughout this book is to solve the source-free Maxwell equations in a certain region to obtain solutions with unknown coefficients and then apply boundary conditions to solve for these coefficients. A number of specific cases of boundary conditions arise, as discussed in what follows.

 

Fields at a General Material Interface

그림 1.5

그림 1.5에 나타낸 것과 같이 두 매질 사이의 경계면(plane interface)을 고려하기로 한다.

이 경계면에서 법선계(normal field)와 접선계(tanqential field)가 관련된 조건을 찾기 위하여 

Maxwell 방정식의 적분형을 사용한다. 

 

그림 1.6

그림 1.6에 나타낸 바와 같이 S를 닫혀진 원통형 모양의 표면이라 하면 

위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

In the limit as h → 0, the contribution of Dtan through the sidewalls goes to zero, so (1.29) reduces to

h->0인 경우 측벽을 통과하는 Dtan 성분은 0에 근접하게 되므로 위의 식은 

where ρs is the surface charge density on the interface. I

ρs는 경계면 상의 표면 전하밀도이다. 위 식을 벡터형태로 표현하면 다음과 같다.

B에 대해서도 유사한 방법으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이는 자유 자하 (free magnetic charge)가 없기 때문이다.

 

그림 1.7

위에 나타낸 폐경로 C와 연관하여 전계의 접선성분에 대하여 

식 1.6

식 1.6의 페이저 폼은 다음과 같다.

식 1.33

In the limit as h → 0, the surface integral of B¯ vanishes (because S = hΔl->0 vanishes).

The contribution from the surface integral of M¯ , however, may be nonzero

if a magnetic surface current density M¯ s exists on the surface

 

h->0인 경우 B의 면적분은 사라진다. 

그러나 M의 면적분은 표면에 자기 표면전류 밀도 Ms가 존재하면 0이 되지 않는다.

 

Dirac 델타 함수를 사용하여 표현하면 

여기서 h는 경계면에서 법선방향으로 측정된 좌표이다.

where h is a coordinate measured normal from the interface

 

식 1.33은

이를 벡터형식으로 일반화하면 다음과 같다.

 

자계

Js는 경계면에 존재하는 전기적 표면전류 밀도이다.

Fields at a General Material Interface

임의의 매질 경계면에서의 경계조건을 가장 일반적으로 표현한 것이다.

Fields at a Dielectric Interface

유전체 경계에서의 계 

두 개의 무손실 유전체 사이의 경계면에서 전하 또는 표면 전류밀도는 일반적으로 존재하지 않는다.

식 1.38

D와 B의 법선 성분들은 경계면에 걸쳐서 연속이며, E와 H의 접선 성분들도 경계면에 걸쳐서 연속임을 기술한다.

Maxwell 방정식들은 모두가 일차 독립(linearly independent)은 아니므로, 

위 방정식 내에 포함된 6개의 경계조건은 모두 1차 독립은 아니다.

예를 들어 세번째와 네번째 식의 경계조건 만족은 자동적으로 법선 성분의 연속성에 대한 방정식을 만족하게 한다.

 

Fields at the Interface with a Perfect Conductor (Electric Wall)

완전도체(전계벽) 경계에서의 계

마이크로파 공학에 있어서 손실이 없는 (σ=>∞)것으로 간주할 수 있는 양질의 도체(금속같은것)가 

있는 경계의 문제가 많이 발생한다.

이와 같은 완전 도체의 경우에 있어서, 모든 계의 성분들은 도체 내부영역에서 0이 되어야 한다.

이것은 유한한 도전율 (σ<∞)을 갖는 

도체를 고려하고, σ->∞일때 표면두께(skin depth) (대부분의 마이크로파 전력이 관통하는 두께)가

0에 접근한다는 것을 고려하면 이해할 수 있다.

경계의 한 면 상에 모든 공간이 완전도체로 채워졌다고 가정하면 

Ms=0이 되고, 

where ρs and J¯ s are the electric surface charge density and current density, respectively, on the interface, and nˆ is the normal unit vector pointing out of the perfect conductor.

ρs 과 J¯ s 각각 경계면 상의 전기적인 표면 전하밀도와 전류밀도이며 

nˆ은 완전도체에서 밖으로 향하는 법선 단위 벡터이다. 

이와 같은 경계를 전계벽이라고 하는데

세번째 식을 보면 알 수 있듯이

E의 접선 성분이 0이 되기 위하여서는 도체의 표면에서 사라져야하기 때문이다. 

 

The Magnetic Wall Boundary Condition

자계벽의 경계조건 

전계벽의 경계조건에 상대되는 경계조건은 자계벽(magnetic wall)의 경계조건이며,

이 경우 H의 접선 성분이 없어져야 한다.

이와 같은 경계조건은 실제에 있어서 존재하지 않지만 주름잡힌 표면 (corrugated surface)이나 

어떤 평면 전송선로 문제에서 근사화하면 나타나게 된다. 

In addition, the idealization that nˆ × H¯ = 0 at an interface is often a convenient simplification, as we will see in later chapters

자계벽의 경계조건은 개방회로 전송선로의 끝단에서의 전압과 전류 관계와 유사하며,

전계벽의 경계조건은 단락회로 전송선로의 끝단에서 전압과 전류 관계와 유사하다.

자계벽의 조건은 경계조건 현상의 완전성을 이루게 하며 실제로 여러 경우에 있어서 유용한 근사화 수단이 된다.

where nˆ is the normal unit vector pointing out of the magnetic wall region.

 

The Radiation Condition

방사조건

무한히 연속된 매질 또는 무한히 긴 전송선로 내에서의 평면파와 같이 하나 또는 다수의 

경계를 갖는 문제를 취급할 경우, 무한대 거리에서 계의 조건이 요구된다.

이와 같은 경계 조건을 방사조건이라하며 에너지 보존의 이론에 필수적이다.

이 조건은 전자계원(source)으로부터 무한대 거리에서 계는 영이거나 바깥쪽 방향으로 전파되어야 함을 뜻한다.

작은 손실항(실제 임의의 매질 특성과 같이)을 포함하고 있는 무한히 연속된 매질을 생각하면 

쉽게 이해할 수 있다.

무한대 거리에서 일정한 진폭을 갖고 입사하는 파들은 무한대 거리에서 무한대의 크기의 전자계원을(source)를 

요구하므로 존재하지 않는다.

 

When dealing with problems that have one or more infinite boundaries, such as plane waves in an infinite medium, or infinitely long transmission lines, a condition on the fields at infinity must be enforced. This boundary condition is known as the radiation condition and is essentially a statement of energy conservation. It states that, at an infinite distance from a source, the fields must either be vanishingly small (i.e., zero) or propagating in an outward direction. This result can easily be seen by allowing the infinite medium to contain a small loss factor (as any physical medium would have). Incoming waves (from infinity) of finite amplitude would then require an infinite source at infinity and so are disallowed.