THE WAVE EQUATION AND BASIC PLANE WAVE SOLUTIONS

The Helmholtz Equation

In a source-free, linear, isotropic, homogeneous region, Maxwell’s curl equations in phasor form'w

전자계 원이 없으며,선형,등방성,균일한 영역에서의 Maxwell의 회전 방정식의 페이저 형태는

1.41

E¯ and H¯ . As such, they can be solved for either E¯ or H¯ . Taking the curl of (1.41a) and using (1.41b) gives

E에 대한 방정식이 된다. 

이 결과는 임의의 벡터 A의 직각좌표 성분에 대한 벡터등식을 사용하면 간략화 할 수 있다. 

전계원이 없는 영역에서  ∇ · E¯ = 0 이므로

This result can be simplified through the use of vector identity (B.14), ∇×∇× A¯ = ∇(∇ · A¯) − ∇2A¯,

which is valid for the rectangular components of an arbitrary vector A¯. Then

1.42

1.42식을 E에 대한 파동 방정식 또는 Helmholtz 방정식이라 한다. 

H에 대한 방정식도 마찬가지 방법으로 유도할 수 있다.

A constant k = ω√µε is defined and called the propagation constant

(also known as the phase constant, or wave number), of the medium; its units are 1/m

 

상수 k는 전파상수라고 정의하며 단위는 1/m 이다.

 

파의 특성을 이해하기 위해서 위 파동 방정식의 가장 간단한 형태의 해에 대하여 검토할 것이며

우선 손실이 없는 매질의 경우에 대하여 살핀 후 손실이 있는(도체) 매질의 경우에 대해서도 취급할 것이다.

 

Plane Waves in a Lossless Medium

무손실 매질에 있어서  ε and µ are real numbers, k is real number.

A basic plane wave solution to the above wave equations can be found by considering an electric field with only an xˆ component and uniform (no variation) in the x and y directions. Then, ∂/∂x = ∂/∂y = 0, and the Helmholtz equation of (1.42) reduces to

위 파동 방정식의 기본적인 평면파의 해는 xˆ 성분만을 갖고 x와 y방향으로는 일정한 전계를 갖는다고 가정하자.

그러면 ∂/∂x = ∂/∂y = 0이 되며 식 1.42의 Helmholtz 방정식은 

1.42

where E+ and E− are arbitrary amplitude constants.

위와 같은 형태가 된다. where E+ and E− are arbitrary amplitude constants.

The above solution is for the time harmonic case at frequency ω.

위의 해는 주파수 ω에서 시간고조파의 경우에 대한 해이다.

시간 영역에서의 이 결과는 

E+ E-는 실수값으로 가정하였다.

 

식 1.46의 첫 번째 항을 고려할 때, 

이 항은 +z 방향으로 진행하는 파를 나타내는데, 

그 이유는 파의 한 고정점을 유지하기 위하여 (ωt-kz=상수) 시간이 지남에 따라서 +z 방향으로 움직여야 하기 때문이다.

마찬가지로 식 (1.46)의 두 번째 항은 -z 방향으로 진행하는 파를 나타낸다.

그러므로 E+ 와 E-는 이들 파의 진폭이다.

 

이러한 관점에서 파의 속도를 위상속도(phase velocity)라고 부르며, 이는 파가 진행하는 고정된 위상점의 속도이기 때문이며, 이 속도는 다음과 같이 주어진다.

 

vp = 1/ √µ0ε0 = c = 2.998 × 108 m/sec, which is the speed of light

 

The wavelength, λ는 정해진 기준 시간에 진폭의 최대점과 최대점 사이 (또는 최소점과 최소점 사이이거나 임의의 다른 기준점 사이)의 거리로서 정의된다.

평면파 전자계를 완전하게 규정하기 위해서는 자계가 포함되어야 한다.

보통은 E 또는 H를 알고 있을 경우 

Maxwell의 회전방정식 중의 하나를 사용하면 다른 하나의 계 벡터는 쉽게 찾아낼 수 있다.

 

그러므로

where E+ and E− are arbitrary amplitude constants.

위에 식에

1.41

η = ωµ/k = √µ/ε 은 E와 H의 비로써 정의되는 평면파의 파동 임피던스(wave impedance)와 같으며,

자유공간의 경우 η0 = √µ0/ε0 = 377 Ω이 된다.

E와 H 벡터들은 서로 직교하며, 전파방향 (+-z^)에 수직하게 되는데 

이 점이 TEM파(transverse electro-magnetic wave)의 특징이다.