허수가 필요한 이유가 무엇일까?

<음수와 허수의 유사성>

	음수	허수
질문	0-1=?	x²=-1?
의미	"없음" 보다 작음의 존재에 대한 의미	같은 수를 두 번 곱하여 "없음"보다 작을 수 있는 수에 대한 의미
해답	수는 크기와 방향을 동시에 갖는다	수는 회전 할 수 있다 수는 2차원이어야 한다.
의의	"방향성"	"회전"
난이도	1700년대까지 이해하지 못함	21세기까지도 잘 이해하지 못함

 

음수이전의 곱셈은 스칼라 연산에 불과하였다. 

양을 x배 하여 양만 늘어나는 연산이었다. 

하지만 음수 이후의 곱셈은 방향성이 추가되어 

1차원 벡터로 확장된것이다.

 

 

허수의 발견은 지금까지 실수 영역에서 1차원 벡터로 표현 될 수 있었던 수 체계를 2차원 벡터로 확장시켰다는

놀라운 의미를 갖는다.

 

 1차원인 실수 영역에서 보았을 때는 i2=−1i2=−1인 것이다. 1차원에서만 생각한다면 매우 기이한 현상처럼 보일 것이다. 3차원에 사는 우리가 4차원에서 일어나는 세계를 이해할 수 없는 것처럼 말이다.

https://www.youtube.com/watch?v=INxpcSwbKMo&feature=youtu.be

1. 양자론 이전의 물리학에는 허수가 필요없다.

 

이 글에서는 허수와 물리학의 관계에 대해 소개한다. 상상의 수라고 했던 허수가 물리학과 관계한다는 것은 생각해보면 신기한 일이다. 그렇다고 해서 모든 물리 이론에 허수가 필요하다는 것은 아니다.

 

예컨데 영국의 과학자 아이작 뉴턴(1643~1727)이 만든 '뉴턴 역학'에는 허수가 필요 없다. 뉴턴 역학은 질량을 가진 물체의 운동을 기술하는 물리 이론이다. 그 기본 방정식인 '운동 방정식'을 사용해 포탄의 궤도나 달의 공전 운동 등을 설명할 수 있지만, 그 계산에는 실수밖에 등장하지 않는다.

 

 그리고 영국의 이론 물리학자 제임스 맥스웰(1831~1879)이 확립한 전자기학에도 허수는 필요 없다. 전자기학은 전기와 자기의 상호 작용 등에 관한 물리 이론이며, 전자기파(전기와 자기의 파동)인 빛(가시광선)이나 전파 등의 움직임을 설명할 수 있다. 그 기본 방정식인 '맥스웰 방정식'에 필요한 것은 실수 밖이다.

 

 한편 독일의 물리학자 알베르트 아인슈타인(1879~1955)이 1905년에 발표한 '특수 상대성 이론'에서는 허수가 이해에 도움이 되지만 이론 그 자체에 허수가 필요한 것은 아니다. 그리고 아인슈타인이 1915~1916년에 발표한 '일반 상대성 이론'도 허수 없이 성립하는 데 아무 문제가 없다.

 

 이처럼 19세기까지 만들어진 모든 물리학 이론에는 허수나 복소수가 기본적으로 필요 없다. 실수의 범위만을 생각하면 된다. 그러나 20세기에 들어와 마침내 허수가 필요한 물리 이론이 등장했다. 바로 '양자 역학(양자론)' 이다.

 

 

2. 양자 역학의 기본 방정식에는 허수 i가 포함된다.

 

 20세기에 들어와 마침내 허수가 필요한 물리 이론인 '양자 역학'이 등장했다. 양자 역학과 허수의 관계를 살펴보기 전에 간단히 양자 역학에 대해 알아보자.

 

 양자 역학이란 원자나 전자의 움직임 등 눈에 보이지 않는 미시 세계의 현상을 지배하는 법칙을 말한다. 양자 역학이 탄생하기 전에는 온갖 물체의 운동은 뉴턴 역학으로 설명할 수 있다고 생각되었다.

 

 그러나 19세기 말에 원자가 관계하는 듯한 미시 세계의 현상을 살펴본 결과, 미시 세계의 물질은 뉴턴 역학으로는 설명할 수 없는 시기한 움직임을 보인다는 사실이 알려졌다. 여기서 말하는 미시 세계란 대략 원자나 분자의 크기, 즉 1000만분의 1mm 이하의 세계이다.

 

 양자 역학이 말하는 미시 세계에서는 물질이 입자와 파동의 설질을 동시에 가지고 있으며, 하나의 물질이 동신에 여러 장소에 존재한다.(상태의 공존). 그리고 미시 세계에서는 아무것도 없어야 할 진공에서 물질이 생겼다 사라졌다 하고, 물질이 벽을 뚫고 나갈 수도 있다.(터널효과)

 

 이처럼 미시 세계에서는 우리의 감각과는 동떨어진, 상식 밖의 현상이 일어나고 있다. 양자 역학은 미시 세계에 국한되지 않고 거시세계에서도 적용할 수 있다.(그러나 계산의 양이 엄청나게 커진다.)  현대의 물리학은 일부의 예외를 제외하고 모두 양자 역학이라는 토대 위에 세워져 있다고 해도 지나친 말은 아니다. 그래서 양자 역학이전의 물리학을 아인슈타인의 상대성 이론까지 포함해 '고전론'이라 부른다.

 

  그 양자 역학의 기초를 이루는 방정식이 오스트리아의 물리학자 에어빈 슈뢰딩거(1887~1961)가 만든 '슈뢰딩거 방정식'이다. 이 방정식을 보면 허수 단위 i가 식의 첫머리에 나온다.

 

(시간 의존적 슈뢰딩거 방정식의 우변에서 i를 발견할 수 있다.)

 

 

 

3. 허수가 없다면 전자 1개의 움직임 조차 설명하지 못한다.

 

 가장 단순한 원자인 수소 원자(H)는 1개의 양성자와 1개의 전자로 되어 있고 '중심에 양성자가 있고, 그 주위를 전자가 돌고 있다.'고 설명하는 경우가 많다. 그러나 이 표현은 양자 역학 탄생전의 이론을 바탕으로 하여, 엄밀하게 말하면 옳다고 할 수 없다.

 

 양자 역학의 세계에서는 전자는 양성자의 주위를 돌지 않고, 양성자의 주위를 '전자구름'이 둘러싸고 있는 상태가 된다. 양자 역학에 의하면, 관측하지 않은 상태에서 1개의 전자가 어디에 존재하는지를 확정할 수는 없다. 이것을 양자 역학의 '불확정성 원리'라고 한다. 그 대신 양자 역학에서는 계산에 의해 '1개의 전자가 어디에서 발견되기 쉬울까?'를 알 수는 있다.

 

 그러면 구체적으로 '전자는 양성자에서 어느 정도의 거리에 있는가?"를 알기 원한다면, 슈뢰딩거의 방정식을 이용해 답(엄밀하게는 전자의 소재지에 대한 '확률분포')을 구하게 된다. 그리고 그 계산에는 필연적으로 허수나 복소수가 포함되어 있다. 이처럼 양자 역학은 허수와 복소수의 존재를 전제로 해서 성립하는 물리이론이라고 할 수 있다.

 

 양자 역학은 현대의 과학 기술이나 공학의 토대이다. 양자 역학이 없다면 휴대 전화도 PC도 생기지 않았다고 말할 수 있다.

 

말하자면 허수나 복소수가 없다면, 인류는 오늘날의 문화를 구축할 수 없었다는 것이다.