1D FEM 정리

공학적인 문제는 미분방정식을 통해서 모델링한다.​ 하지만 공학수학 시간에 배웠듯이 ​ 
우리가 손으로 풀 수 있는 미분방정식은 극히 드물다.​ 

도메인은 우리가 해석하고 싶은 영역이며 ​ 이 도메인을 잘게 자른 것이 하부 도메인 혹은 ​ 
유한요소(finite elemet)라고 부른다.​ 

보간 함수 혹은 SHAPE FUNCTION으로 근사해(approximate solution)를 구하는데 
보간 함수는 반드시 polynomial의 complete set이어야 한다. 

Approximate solution은 INTERPOLATION function 
혹은 SHAPE function의 집합에 의해 요소 내부에 표현된다. (nodal value와 보간함수의 곱으로) 

residual은 편미분 방정식의 모든 항을 한쪽으로 이항한 다음 가중치 함수를 곱하고 
finite element의 작은 도메인의 적분을 통해서 구한다. 

 weighted-integral equation은 residual이 0이 되게 하는 근사해를 구함으로써 구할 수 있다. 

weighted-integral equation에서의 V는 두 번 미분이 가능해야 한다. 
이러한 제약을 '극복'하기 위해서 부분적분을 하는 것. 

부분 적분을 사용하고 가중치 함수와 보간 함수 사이에 
2차 도함수를 균등하게 분배함으로써 weak form으로 만든다. 

갤러킨 메소드는 가중치 함수를 보간함수로 선택하는 방법이다. 

weak form of the differential equation을 구할 수 있는데 

w와 V를 보간함수에 대한 식으로 바꿔준 후에 보간함수의 edge 값을 적용하면 
행렬로 표현할 수 있다. ==>element matrix K를 얻는다. 

하지만 natural coordinate system이 편리하므로 좌표변환을 해주고 (맵핑) 
최종적으로 governing matrix system for a single element를 얻는다. 

하지만 한 요소에 대한 matrix이므로 ASSEMBLY 하여 글로벌 매트릭스를 얻어줘야 한다. 
e=1일 때, e=2일 때……. e=Ne일 때 

그 후에 BOUNDARY CONDITION을 적용한다. 

그 후 과정 
Solve the linear system of equations using linear algebra techniques. 
Post process the results