General Procedure of FEM (Seong-Jin Park, POSTECH)7_2_1

 

FEM의 전체적인 흐름

FEM을 이용하여 문제를 풀기 위해서 위와 같은 절차(Step)들이 있습니다. 

 

step 1~ step 2

Weak formulation 을 통해 FEM을 하기 위한 Governing equation 을 바꾸는 절차가 있습니다. 

 

step 3

풀고자 하는 문제에 대해 각각의 Element로 Discretization 을 하는 절차가 있습니다. 

 

step 4

각각의 Element 안에서 Interpolation(보간) 해야 하는데,

이를 통해 constant, linear 등 방식 중에서 어떤 방식을 사용하는지를 결정합니다. 

 

step 5

각 Element 에서의 Weak formulation 에 대해 Numerical integration 을 진행합니다. 

여기까지 각 Element 에서의 작업은 끝납니다.

 

step 6

Global assembly 를 진행하고 Solution technique 을 통해 문제를 풀어야 합니다.

 

step 7~ step 8

Post process 를 통해 저희가 원하는 Value 들을 바꾸는 절차가 있습니다. 
위와 같이 설명한 순서대로 각각의 절차에 대한 강의를 진행하도록 하겠습니다.

 

step1

제일 첫 번째 절차는 Governing equation 을 결정하는 것입니다. 

제일 첫 번째로 Governing equation 은 대체적으로 Differential equation 형식으로 되어 있는데, 

여기에는 물리학과 수학 지식이 필요합니다.

 

step2

두 번째는 Weak formulation 을 통해 Strong form 형태로 존재하고 있는 

Governing equation 을 Weak form 으로 바꾸는 것입니다.
물론 Differential operator 가 서로 달라질 수 있지만 

대부분의 문제에서는 서로 같은 Differential operator 를 가진 

Self-adjoint 문제이기 때문에 Weak formulation 을 진행해야 합니다.

 

Weak formulation 을 함에 있어서 세가지 방법이 있는데

각각 Direct approach, Variational approach, 그리고 수학적인 Method of weighted residual approach 가 있습니다.

이중에서도 Method of weighted residual approach 가 제일 일반적인 방식인데 

이 방식만으로도 대부분의 문제를 풀 수 있습니다.
최근에 들어 Direct approach 는 Weak formulation 이라고 하기에 너무 primitive한 방식인데, 

이를 통해 FEM 의 개념과 history를 배울 수 있습니다.

그 다음으로 Variational approach 는 하나의 Weak formulation 으로 볼 수 있는데 에너지와 관련이 있습니다.

 

Galarkin method

Method of weighted residual approach 중에서 Weighting function 을

어떻게 구하는가에 따라서 여러 가지로 나눌 수 있습니다.

 

그 중에서도 저희가 항상 기억해야 하는 것은 Galarkin 이라는 사람이 만든 Galarkin method 입니다.

Galarkin method 를 사용하는 경우 Functionally 존재하는 Governing equation 에 대해서 Equilibrium 이 됩니다.

그래서 이 Galarkin method 가 아주 좋은 방법입니다.

순수 수학전인 Approach 임에도 불구하고 Galarkin method 를 사용하면

거기에 에너지와 관련되는 Physics 를 접목할 수 있습니다. 이와 같은 내용이 아주 중요한 부분입니다.

 

step3

그 다음으로 Weak formulation 끝나면 Governing equation 에 대해서 Discretization 을 진행해야 합니다.
각각의 element 를 만드는데 있어서 1D element, 2D element, 3D element 가 있습니다.
2D element 중에는 삼각형 형태인 triangle element, 사각형 형태인 quadrangle element 가 있습니다. 

그리고, 3D element 중에는 사면체, 육면체 element 등이 있습니다. 

 

step4

이어서 이러한 Element 를 나누는 Discretization 을 하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

Element 가 선정이 된 후, 예를 들어 삼각형 Element 를 선정했다면, 선정된 삼각형 Element 에서 그림과 같은 Nodal value 들을 알았을 때, 삼각형 Element 내부에서의 값을 Interpolation 을 통해 예측을 해야 합니다.

 

동그라친 부분이 nodal value(노드값)

이 삼각형 Element 내부에 있는 값들은 Interpolation 통해,

외부에 있는 값들은 Extrapolation 을 통해 구할 수 있습니다.

이렇게 Interpolation function 을 통해 Element 내부에 있는 값들을 미분이 가능한 함수 값으로 나타낼 수 있습니다.

그 외에 Interpolation function 을 또 Shape function 이라고도 부르는데,

 이는 Interpolation 을 통해 Shape 을 결정하기 때문입니다.
이와 같이 네 번째 단계에서 저희는 사용할 Element 를 결정하고

이와 관련된 Interpolation function, Shape function 을 결정합니다.

 

step5

Interpolation function 이 결정되면 Element 내부에 있는 값들을 나타내는 함수에 대한 미분과 적분이 가능합니다.
각각의 Element 에서 Weak formulation 에 대해 Integration 진행함으로써 Element stiffness matrix 를 구할 수 있습니다.
이것이 다섯 번째 단계인 Numerical integration 입니다.
대부분의 Interpolation function 은 polynomial 로 되어 있는데, 그 중 가장 좋은 Numerical integration 방식은 Gauss quadrature 입니다.
Gauss quadrature numerical integration 는 아주 중요한 내용입니다.

 

step6

 

그 다음으로 여섯 번째 단계는 Element 에 대한 작업이 끝나고 Global matrix 를 만드는 것입니다.
이는 Assembly process 를 통해 진행이 되는데, 이때 저희는 항상 physics 에 대한 지식이 필요하게 됩니다. 따라서 저희는 physics에 기반한 Assembly process 에 대해 공부하게 됩니다.

 

step7

일곱 번째 단계는 Assembly 된 Global matrix 를 푸는 것입니다.
결국 Inverse 를 만드는 것입니다. 현재 토론하기에는 너무 Detail 한 부분인데 Gauss elimination 또는 LU decomposition 등 내용이 포함됩니다.
사실 최근에는 이러한 내용에 대한 Tool 들이 개발이 잘 되어있어 기본적으로 library 형태로 존재하고 있습니다.
그리고 System 이 더 커지면 Vector calculation 이나, Parallel processing 등 Solution technique 을 통해 풀 수 있습니다.
이어서 마지막 단계는 제일 중요한 Post process 입니다.
결국 저희들은 12개 방정식을 이용해 12개 미지수를 구하는 것입니다.
다시 말하면, Geometry design, Material property, Initial condition, Boundary condition 을 통해 Stress field, PVT thermal dynamic field, Displacement 나 Velocity 와 같은 Dimension 과 관련된 Output 들을 얻는 것입니다.
이와 같은 Output 을 가지고 설계를 할 때 설계를 하기 위한 Design guide 또는 특정된 Criteria 와 같은 Guideline 이 있어야 합니다.

 

step8

이러한 Output 은 아주 기본적인 기초 data 들인데, yield point 를 넘지 않는 또는 전체 에너지가 일정한 값을 넘지 않는 것과 같은 특정된 Criteria 를 통해 설계단계로 넘어갈 수 있게 하는 과정을 post process 라고 합니다.
Post process 는 아주 중요한 부분인데 Post process 를 잘 할 수 있는 것은 Engineer의 감(Sense)입니다.

이 부분에 대해 FEM code 를 개발하는 Engineer 가 중요할 뿐만 아니라 개발된 Code 를 잘 활용해서 저희가 원하는 목적에 달성하도록 하는 Engineer 도 아주 중요합니다.
예를 들어, 자동차를 제작하는 것도 중요하지만 자동차를 잘 활용해서 생활에 잘 활용되게 하는 것도 아주 중요합니다.
사실 FEM code 를 개발하는 사람이 개발된 FEM 을 잘 사용할 수 있다는 보장은 없습니다.
FEM code 를 개발하는 사람은 대체적으로 정교하게, 빠르게 개발하려고 하고, 개발된 FEM code 를 어떻게 활용을 하는가 하는 문제에 대해서 설계를 하는 사람과의 Interaction 및 Discussion 을 통해 이 Post process 에 대한 설계를 따로 진행합니다.

따라서 Post process 가 FEM 에서 아주 중요한 부분입니다.
그리고 Engineer 의 가치를 결정적으로 나타낼 수 있는 부분도 Post process 입니다.
Post process 를 통해 설정한 논리에 따라 설계를 진행할 수 있기 때문이다.
이렇게 오늘 이 시간에는 여덟 개의 절차가 포함된 FEM 의 전반적인 흐름에 대해 알아보았습니다.
우선 Governing equation 에 대해 알아보았고 그 다음으로 Weak formulation 의 세가지 방법에 대해 소개하였습니다.
그들은 각각 Direct approach, Variational approach, Method of weighted residual approach 입니다.
Weak formulation 다음으로는 Element 로 Discretization 을 하고 Element 내부에서 shape function, interpolation function 을 통해 함수 값으로 표현을 합니다.
그 다음으로 Numerical integration 을 통해 Element 에 대한 stiffness matrix 를 만들고, 전체적인 Global assembly process를 걸쳐 global matrix 를 만듭니다.
만들어진 global matrix 를 solution technique 을 이용해 풀고, 마지막으로 post process 를 통해 필요한 information 으로 바꾸는 이와 같은 전반적인 여덟 개의 과정에 대한 공부를 하였습니다.