Direct approach (Seong-Jin Park, POSTECH) 8_1_1

Direct approach

Direct approach는 여러 가지 장점이 있습니다.

우선은 쉽습니다. 또한 physics 기반으로 되어 있습니다.
단점은 복잡한 문제에 적용하기 어렵다는 것입니다.

그런데 이러한 approach를 왜 하느냐?

그 이유는 교육적인 목적으로 하는 것입니다.

'이것을 통해 사람들이 FEM을 생각할 수 있었겠구나' 하는 유추를 할 수 있는 것입니다. 
실질적으로 요즘에는 direct approach는 쓰이지 않습니다.
예제를 시작하기 전에 전체적으로 한번 보도록 하겠습니다.

Weak form 중에 하나인 DA를 공부해보도록하자

Example 1

 

첫 번째 예제로 스프링 시스템을 살펴 보겠습니다.
선형 스프링 시스템(Linear spring system), 우리가 누구나 다 아는 F=kx입니다.
그런데 스프링이 여러 개가 붙어 있습니다.
여기서 각각 스프링 사이의 positon을 node라고 하겠습니다. 그리고 여기에 힘을 줄 수도 있습니다.
이제 변위(displacement)가 얼마인지, node가 각각 얼마만큼 위치변화 하였는지가 unknown입니다.
그리고 스프링은 각각 다른 스프링입니다. 또한 한쪽은 free boundary condition, 

다른 쪽은 fixed boundary condition입니다.

이런한 문제를 풀 때 전체를 풀려고 한다면 매우 복잡할 것이다.

그렇기 때문에 하나의 스프링을 element라고 생각하여 one element만 먼저 생각해보자.

작용반작용에 의해 위와 같은 결과가 나온다.

이렇게 하나의 요소에서 생각하면 다음의 element stiffness matrix를 구할 수 있는 것 입니다.

그리고 난 후 전체적으로 assembly를 하면 되는 것 입니다.

 

Assembly

여기서 우리는 K는 stiffness matrix, 

F는 resultant nodal force matrix,

델타는 displacement matrix로 부를 수 있겠습니다.

그러면 어떻게 assembly를 할 수 있을까요?

 

스프링 2개가 연결되어 있다고 했을 때, 이 node에서 힘을 합치면 외부 힘과 똑같다 하는 것이 physics 입니다.
또 하나의 물리적 사실은 node는 오른쪽이나 왼쪽 요소에서 똑같다 하는 것입니다.
이 두 개를 이용하여 문제를 푸는 것입니다. 

따라서 이런 식으로 값을 구할 수 있겠습니다. 

그리고 당연히 이 경우에는 한 node가 2개의 element하고만 관련이 되어 있기 때문에 node로 보면 자기자신과 양쪽 node 세가지만 관련되어 있어서 이러한 트라이앵글 element matrix가 나오는 것입니다.그리고 matrix가 symmetry 합니다. 또한 나머지는 다 0 입니다.따라서 Banded matrix가 생긴 것입니다.

그리고 난 후 델타가 같기 때문에 같은 것끼리 묶으면 이렇게 되는 것입니다.
그리고 당연히 이 경우에는 한 node가 2개의 element하고만 관련이 되어 있기 때문에 node로 보면 자기자신과 양쪽 node 세가지만 관련되어 있어서 이러한 트라이앵글 element matrix가 나오는 것입니다.

 

Boundary condition 적용

displacement를 고정하면 이것을 뭐라고 부를까요? 이것을 essential boundary condition이라 합니다.Force가 주어지면 무엇이라 부를까요? Natural boundary condition이라고 합니다.각 node마다 하나는 unknown이고 하나는 known이어야 되는 것입니다. 그렇지 않으면 문제를 풀 수가 없습니다.

경계조건은 항상 두 개중에 하나가 존재해야 합니다. Displacement가 주어지든지 force가 주어지든지 해야 합니다.각 node마다 하나는 unknown이고 하나는 known이어야 되는 것입니다. 그렇지 않으면 문제를 풀 수가 없습니다.그리고 essential boundary condition은 반드시 node가 specified되어 있어야지 그렇지 않으면 translation motion을 없앨 수가 없습니다. 이러한 것들이 requirement가 되겠습니다.

Example 2