Introduction to FEM (Seong-Jin Park, POSTECH) 7_1_1_1

포항공대 박성진 교수님 유한요소법 강의입니다. 필자가 전자과여서 기계과적인 내용은 많이 다루지는 않습니다.

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2. 연속체역학과 유한요소해석 (포항공과대학교 박성진 교수) 7_1
3. 오늘부터 본격적으로 FEM에 대해 공부하도록 하겠습니다. 먼저 간단한 개요부터 알아보도록 하겠습니다.
4. 우선 수치해석(numerical method)을 보시면 다음과 같이 크게 세 경우가 있습니다.
5. 현재 우리가 배우는 것은 연속체 역학(co

수치해석의 종류

연속체 역학(continuum mechanics)

먼저 역학과 관련하여 연속체 역학을 기초로 한 수치해석이 있습니다.

Grain size or mseoscale

그 다음 grain size 나 세포 같은 mesoscale에 대하여 메쉬(mesh)를 만들지 않고 수행하는 부분이 있습니다.
이러한 방법들에는 discrete element method 와 hybrid particle method가 있습니다.
discrete element method은 grain 하나하나를 다루는 것입니다. 그래서 접촉(contact) 알고리즘이 중요한 것입니다.
hybrid particle method는 재료가 원자로 구성되어 있으니까 원자를 입자(particle)로 생각하여 붙어있는 입자 사이의 상호작용에 대하여 인위적인 조작을 통한 해석 방법입니다.
그리고 MD라고 하는 molecular dynamics가 있습니다.
여기에서도 원자(atom)로 다루는 atomic simulation이 있습니다.
원자를 살펴보면 전자(electron)가 있습니다. 제가 잘은 모르지만 전자안의 양성자와 중성자를 고정해 놓고 양성자와 중성자를 관찰하는 수치해석도 있습니다.
여기에 뉴 일렉트로로닉스(new electronics), 포토닉스(photonics) 등이 들어갈 수 있습니다.
현재 역학에서 크게 보면 이러한 molecular dynamics에 해당하는 atomics simulation이 있고 다음으로 미소스케일, continuum을 기초로 한 macro scale이 있습니다.
그래서 이 부분들의 사이를 연결해주는 multiscale simulation이라고 하는 큰 분야가 대두가 되었습니다.
따라서 많은 수치해석가들이 쉬운 부분은 다 되어있으니 더 어려운 부분을 해결하고자 하는 현상들이 있습니다.
다음으로는 이것을 서로서로 독립적으로 하여 length scale이 다른 것을 연결시켜주는 hierarchical multiscale simulation을 수행합니다.
그리고 어떤 사람들은 continuum과 molecular dynamics를 연결하든지 continuum가 DEM을 연결하는 concurrent multiscale simulation도 수행합니다.
그래서 numerical simulation 분야도 상당히 큰 분야로써 

우리는 그 중에서 continuum을 기초한 numerical method를 배우겠습니다.
continuum을 기초로 한 numerical method에도 여러 가지가 있을 수 있습니다.

 

FDM

이것은 grid라는 말을 많이 사용하는데

미분 방정식 자체를 테일러 시리즈로 추정하여 point에서의

미분 값들을 주위의 point값을 이용하여 추정하는 방법입니다.
시간에 대해서는 FDM을 사용합니다. 

FDM은  각각의 포인트에서 첫 번째 미분 값이나 두 번째 미분 값을 그 사이 값들과 어떻게 연결하느냐 하는 것입니다.

 

FEM

FEM은 똑같지만 그림과 같이 이 안에서

constant, linear, quadratic element 등을 사용하여 어떠한 형태로 추정(approximation) 할 것인가 하는 것입니다.
그래서 앞으로 배울 테지만 기본적으로 적분 방정식(integral equation)을 사용합니다.
그리고 element-wise approximation을 합니다. 따라서 point가 아닌 global 이나 element라는 용어를 사용합니다.
여기에서는 mesh라는 단어를 많이 사용합니다. 이 mesh들은 나중에 assembly 하여 만들어 집니다.

 

BEM

다음으로 BEM이 있습니다.

이전에도 이야기했듯이 strong formulation인 오리지널 problem이 있고

그 다음 weak formulation이 있습니다.

그 다음 inverse problem을 하는 경우가 있습니다.
inverse problem을 사용하여 해결하는 것이 boundary element method입니다.
이 방법도 당연히 적분 방정식을 많이 씁니다. 

그러나 여기에서는 domain approximation이 아니라 domain에서 지배방정식을 정확하게 풀고, 

경계에서 추정하는 boundary condition approximation입니다.

 

FVM

finite volume method는 이 각각이 infinitesimal 한 것입니다.
infinitesimal 하다라는 것은 dx라고 합니다. 

그러나 finite는 델타x라고 하지 않습니까?
이 finite한 것을 가지고 우리가 지배방정식을 만들 때 이 dx에서 전후의 상황을 고려하여 지배방정식을 만듭니다.
따라서 이 각각의 element volume에서 differential equation을 finite 한 것입니다.
여기에서는 자체적으로 conservation law를 적용한 것입니다.

 

spectral method 

다음으로 spectral method는 기본 space에서 frequency나 다른 domain으로 옮겨서 하는 방법입니다.
이런 방법들이 지금 기본적으로 개발되어 있는 부분입니다.
FDM이 가장 많이 쓰이며, FVM은 FDM의 일종으로 볼 수 있습니다.

 

 

FEM의 장점 

FEM의 장점은 지배방정식이 주어지면 모든 물리현상(physics)을 풀 수 있다는 것입니다.
이러한 이유는 수학적인 접근(approach)이기 때문입니다.

 

그리고 중요한 것은 임의의(arbitrary) geometry를 대부분 적용할 수 있다는 것입니다.

 

FDM에서는 grid(격자)를 사용하기 때문에 위와 같은 굴곡진 형태의 모양이라면 해결하기 어려울 수 있다.

FDM에서는 grid를 하기 때문에 경계가 굴곡이 지거나 임의의 형태라면 해결하기 상당히 어렵습니다.
하지만 FEM에서는 삼각형 element로 만들면 형상에 대한 유연함(flexibility)이 상당히 커지게 됩니다.
따라서 실질적으로 임의의 형상(arbitrary geometry)이 가장 중요한 것입니다.

 

단점

단점(weakness)은 복잡하다는 것입니다.
그래서 programming하는데 시간도 많이 걸리고 어렵습니다.
그러나 FDM도 똑같이 어렵습니다.
따라서 실질적으로 FEM의 사용범위가 점점 더 늘고 있습니다.
유체역학에서도 FEM에 관련된 코드가 점점 더 많이 사용되고 있다는 보고들이 있습니다.

 

FDM, FVM, FEM, BEM

이전에 보신 FDM, FVM, FEM, BEM입니다.
제일 중요한 것은 domain approximation, boundary approximation입니다.

FDM과 FEM은 boundary condition을 정확히 주어져야하며 domain에 대해서 approximation을 합니다.

반대로 
BEM에서는 governing equation을 정확히(exact) 하며 boundary에 대해서 approximation 합니다.

FDM은 point-wise approximation이며, FEM은 element-wise approximation입니다.
FDM은 grid point를 array로 하며, FEM은 element를 assembly 합니다.
FDM은 point-wise이기 때문에 각각 포인트에 대하여 array에 따라 진행하는 것이고,

FEM은 element에 따라서 element끼리 assembly 하기 때문인 것입니다.

 

FEM의 가장 중요한 것은 복잡한 형상도 해석할 수 있다는 것입니다.

 

적용

이제 적용(application)에 대해 살펴보도록 하겠습니다.
역사적으로 FEM이 항상 beam등의 structural analysis에서 가장 많이 사용이 되었습니다.
정상상태인 구조해석을 할 수도 있고, time-dependent dynamics라는 것은 진동모드 같은 것을 만들어 냅니다.
eigenvalue도 진동모드 같은 곳에서 옵니다. 그래서 기본적으로 beam, plate and shell 문제에 적용됩니다.
사실 둘 다 bending 이지만 1-d 인지 2-d 인지의 차이입니다.
역사적으로도 이러한 문제들이 가장 많이 이용되었다고 생각하시면 될 것 같습니다.

 

thermal problem인 열전달(heat transfer)에도 적용 되었습니다.
자 전도(conduction)입니다. 여기 바깥쪽이 전부 T2이고 안쪽이 T1인데 이 안에서의 온도분포가 어떻게 될 것인가 하는 전도(conduction) 문제입니다.
FEM으로 이런 문제를 풀 때 네모 형상은 FDM으로 해석하는데 문제가 없지만 이러한 원형 형상이 안에 있으면 FDM으로 해석하기가 힘듭니다.
따라서 FEM으로 해석하면 큰 문제없이 풀 수 있습니다.

 

그 다음은 유체역학(fluid dynamics)입니다.
유동(flow)이 다음과 같이 흐르는데 이 형상은 turbine blade 같은 것입니다.
이 터빈 형태를 따라 유체가 잘 흘러서 터빈이 효율적으로 구동하여 전기에너지가 잘 나올 수 있도록 해야 하는데 여기서도 어떠한 특징들이 있습니다.
지금 이곳에서 유동이 흐르는데 convection term이 들어 있는 것입니다. 그리고 열전달도 포함되어 있습니다.
이러한 복잡한 문제를 풀 때도 FDM을 사용하여 풀 수도 있지만 최근에는 FEM으로 많이 풀고 있습니다.
그래서 이러한 convection term을 풀 때 upwind scheme 같은 것을 사용하여 풀 수 있습니다.
물리적으로 상류에서(upstream)에서 오는 유체가 대류(convection)영향을 미치지 않습니까? 하류에서는 상류로 올 수가 없습니다.
그래서 upwind scheme 같은 것을 사용하여 물리현상(physics)을 잘 이해하면 수치해석(numerical method)까지 안정적으로(stable) 만들 수 있습니다.
이러한 부분에 대해서 사람들이 연구 및 개발한 부분들이 있습니다.

 

방향성에 대해서

그 다음으로 저같이 제조(manufacturing)하는 사람 입장에서는 thermomechanical process가 있습니다.
어떻게 생각하면 제일 복잡하다고 할 수도 있습니다.
변형(deformation)도 일어납니다. 변형이라는 게 고체(solid), 유체(fluid) 모두에서 일어날 수 있습니다.
그 다음에 열전달(heat transfer)도 같이 풉니다.
이것이 금속인데 단조(forging)를 하면 소성 변형(plastic deformation)이 일어납니다.
Rolling도 소성 변형(plastic deformation)이 일어납니다.
단조나 rolling도 온도를 상당히 높이고 열전달이 어떻게 되는가 보면 열전달에 따라서 재료 물성이 달라집니다.
이 두 가지는 고체(solid)에 관련된 것입니다.
사출성형을 한다고 그러면 이것이 폴리머(polymer)인데 온도를 200~300도로 올려 유체로 만들어서 사용합니다. 그런데 이 유체는 기본적으로 점탄성 성질을 지니고 있습니다.
점성뿐만 아니라 탄성의 성질도 지니고 있어 다시 수축하는 성질 등을 지니고 있습니다.
그리고 금형 온도는 40~50도 정도 되지만 수지의 온도가 200~300도 라면 당연히 열전달 해석도 같이 수행하여야 합니다.
따라서 이러한 제조 공정(manufacturing process)이 있을 수 있습니다.
그래서 우리가 첫 시간에 이야기 한 것처럼 입력(input)으로는 형상 디자인(geometry design), 재료 물성(material property), 초기조건(initial condition) 및 경계조건(boundary condition)이 투입됩니다. 이때 초기조건 및 경계조건은 manufacturing process로 볼 수 있습니다.
이 세 개의 입력을 투입하여 12개의 식으로 12개의 미지수를 풀면 stress field인 kinetic parameter가 도출되고 thermodynamic parameter 그리고 dimension에 관련된 kinematic parameter가 나옵니다.
그러면 이러한 parameter를 사용하여 설계를 잘 하든지 공정조건을 잘하든지 하는 것이 과거에 했던 접근방법입니다.
재료물성은 재료를 만드는 공정에 관련되어 있으니까 재료공정을 잘하면 재료물성을 알아 낼 수 있습니다.
따라서 재료공정까지 한 발짝 더 나가 시뮬레이션을 통해서 어떻게 재료를 설계하면 재료물성이 나오고 이 재료물성에 따라서 어떻게 output이 달라지는가 까지 해서 재료정보학(material informatics)까지 개념이 확장되었습니다.
그래서 이런 FEM 시뮬레이션을 적용하는 부분이 더욱 확장되고 있습니다.
지금 역학 및 과학을 기초로 하는 거 뿐만 아니라 어떤 환경적인 요인, 온도나 외부요인 등에 대해서 역학으로 다 풀지 못하는 부분들에 대하여 IOT를 통해 많은 감지를 하여 대량의 데이터들을 얻어냅니다.
그리고 이런 것들을 역학(mechanics)과 합칩니다. 그 다음 빅테이터를 이용하여 새로운 제조(manufacturing)에 IT기술을 접목하여 공장을 제어(control)하려는 시도들이 진행되고 있습니다.
그래서 여러분들이 FEM을 잘 이해하여 적용을 잘 할 때 이 적용영역이 IT기술과 함께 점점 더 커져갑니다.
센서(sensor)나 다른 기술들과 접목이 되어 점점 그 영역이 커져가고 좀 더 정밀하고 타이트한 process window를 가지고 저장할 수 있는 그런 분야로 점점 발전되기 때문에 이 FEM수업을 수강하는 것에 충분한 이득(benefit)이 있다고 생각할 수 있겠습니다.
오늘은 여기까지 하도록 하겠습니다.