Continuum Mechanics and Finite Element Methods (Seong-Jin Park, POSTECH) 5_1_1_1

http://www.kmooc.kr/courses/course-v1:POSTECHk+POSTECH_MECH583k+2019_T1/courseware/7cc9fd54de064db3b79f2afc442bfb02/129f8e4f65a143768627405f5aa3ef1f/1?activate_block_id=block-v1%3APOSTECHk%2BPOSTECH_MECH583k%2B2019_T1%2Btype%40vertical%2Bblock%409e21601d63c74e3381687eb5a9affd05 

위의 강좌를 참고하여 게시글을 만들었으며 

모든 저작권은 포항공과대학교 박성진 교수님에게 있음을 밝힙니다.

순전히 학업적인 이유에서 작성하였으며 문제시 삭제하겠습니다.

 

• Overall Structure of Numerical Analysis
• Lecture 5-1-1-1

수치해석에는 Governing equation이 꼭 필요합니다.

수치해석을 하기 위해서는 기본적으로 governing equation이 필요합니다.

• 첫 번째 시간인 오늘은 numerical method의 기본에 대해 알아보도록 하겠습니다.
• 수치해석을 하기 위해서는 기본적으로 governing equation이 필요합니다.
• Governing equation은 12개가 있는데, 먼저 conservation law에 mass conservation, energy conservation, moment conservation이 있습니다.
• mass conservation은 이 식과 같고, 유체역학의 incompressible flow에서는 이렇게 표현합니다.
• energy conservation은 이 식과 같고, linear momentum conservation인 equation of motion 및 angular momentum conservation이 있습니다.
• 그리고 상태방정식(equation of state)과 constitutive equation이 있으며, elastic 재료, viscous 재료, plastic 재료에 대해 알아보았습니다.
• 이러한 equation을 가지고, numerical method에 어떻게 접근 할건지 알아보도록 하겠습니다.

• 
• Lu의 L은 differential operator입니다.
• 그래서 시간에 대한 2nd term과 space에 대한 2nd term이 있습니다.
• 그리고 mixed term이 있습니다.
• 이 식에서 x는 x, y, z 모두를 대표하는 space variable입니다.
• 일종의 laplacian 입니다.
• 그 외에 1차 미분항과 상수항이 있습니다.
• 이 식이 시간, 공간을 포함하는 2차 편미분 방정식(partial differential equation)의 general한 form입니다.
• 그리고 이 식의 u를 제외한 모든 것을 합쳐서, L이라는 differential operator로 나타낼 수 있습니다.
• differential equation을 수치적으로 풀 때 가장 중요한 것이 inner product 입니다.
• discrete system, vector에서는 inner product를 이러한 식으로 표현합니다.
• continuous space에서는 integral로 표현합니다.
• 이때 weight function 을 사용합니다 있을 수 있습니다.
• 이러한 inner product를 이용해서, 이 differential equation을 똑같이 나타낼 수가 있으며, 이는 이 식과 같습니다.
• 이때 v가 모든 v에 대해서 0을 만족하려면, Lu=0이 됩니다.
• 이러한 v를 test function, 혹은 trial function이라 부릅니다.
• 이와 같은 물리현상을 differential equation과 integral equation 둘 다로 표현 할 수 있다는 것을 알아야 합니다.
  

• integral equation에서 기본적으로 알아야 하는 것이 space입니다.
• integral equation 뿐 만 아니라 differential equation 역시 마찬가지로 playground가 어디냐는 것을 알아야 합니다.
• 이런 다양한 것들을 다루는 playground를 space라 합니다.
• 혹시 여러분이 Hilbert space라는 것을 안다고 하시면 기계공학에 대해서는 충분히 이해도가 높다고 생각 하실 수 있습니다.
• 여러분 모두 고등학교에서 연속함수(continuous function), continuity를 배웠을 겁니다.
• 그리고 continuous function에서 differential function, differentiability, integrability도 배웁니다.
• Integrability와 differentiability 중에서는 differentiability의 개념이 큽니다.

 

• Integrability한 경우 대부분 적분 역시 가능하지만, differentiability 하다고 해서 미분 가능한 건 아닙니다.
• 적분에는 2가지가 있는데, Riemann integral과 Lebesque integral 입니다.
• 일반적으로 다루는 것은 Riemann integral입니다.
• 도함수를 찾아 piece-wide continuous function을 적분하는 겁니다.

 

• Lebesque integral은 piece-wide 하지 않지만 적분 가능합니다.
• 예를 들어 20%농도의 소금물 100g과 30% 농도의 소금물 100g을 합치면 25%의 소금물 200g이 됩니다.
• 20% 100g, 30% 100g을 200g으로 나누면 25가 됩니다.
• 이는 20%를 100g으로 적분하고 30%를 100g로 적분한 것이 25%를 200g으로 적분한 것과 같다는 겁니다.
• 이때, 20% 소금물과 30% 소금물이 piece-wide continuous하지 않고, 무한대의 불규칙점을 보이게 됩니다.
• Domain의 어떤 파트가 20% 혹은 30%에서 왔는지 찾아야 합니다.
• 하지만 적분은 가능합니다.
• y축을 %라고 하면, 30% 소금물도 많이 있고 20% 소금물도 많이 있습니다.
• x축의 100g에 대한 y 값은 20이며, 이것을 measure라고 합니다.
• independent variable과 measure의 곱끼리 더하면 적분이 가능하며, 이러한 적분을 Lebesque integral이라 합니다.
• 이것에 대한 것이 function value와 Lebesque measure입니다.
• continuity, differentiability, integrability가 기본 개념 입니다.
• Integrable하다면 piece-wide continuous의 리만 Riemann integral인지, 아니면 Lebesque integral system인지, 혹은 적분 불가능한 system인지 등이 기본 개념입니다.

 

 

• 일반적으로 가장 먼저 배우는 space는 vector space입니다.
• vector space에서는 크기가 0일때는 항상 그 값이 0이여야 하며, 상수의 곱은 벡터와 상수를 곱한 것과 같아야 합니다.
• 그리고 두 벡터를 더하면 triangular inequality가 항상 성립합니다.
• 이 세가지 조건을 만족하는 space를 vector space라 합니다.

• vector space 정의를 위해서는 vector의 크기가 정의가 되어야 하며 그 크기가 정의되어 있는 vector space를 normed vector space라 합니다.

• 또한 크기를 Lebesque integral로 정의를 한 space를 Lebesque space라 합니다.
• 그래서 norm을 p승을 적분 하여 P의 제곱근을 취한 것으로 정의합니다.
• 일반적으로 L2 스페이스라고 하면 P=2가 되어 일반적으로 크기 값을 구하는 식에 자주 쓰이는 식이 됩니다.

 

• 그 다음에 나오는 개념이 Banach space입니다.
• Banach space는 complete set, 즉 상수의 곱과 또 다른 상수의 곱을 linear combination 한 결과 값이 다시 그 space에 들어가는 closed system입니다.
• 무리수는 closed system이 아닙니다.
• 무리수와 무리수의 차는 유리수가 될 수 있으며, 이런 것은 open system입니다.
• 이와 같이 playground가 무리수에서 유리수로 변하는 space는 좋지 않습니다.
• 반면 Banach space는 linear combination을 사용해도 playground가 변하지 않는 complete space입니다.