Time-Harmonic Fields

시변장에 대한 얘기를 했고 파동방정식에 대해서 얘기를 하고 

파동방정식의 해가 어떻게 되느냐=>지연 포텐셜로 나타난다. 

전기장이나 자기장도 파동방정식을 만족한다.

 

임의의 시간에 대해서 나타나는 response를 해보도록 할 것입니다.

 

 

시간 조화 => 시간에 대한 하모닉 필드를 알아볼것입니다. 

궁극적으로 sin cos로 변환하는 솔루션으로 나타날 경우에 

지난 시간까지 막스웰방정식이나 웨이브식에 대한 솔루션을 생각할때

임의의 시간에대한 솔루션에 대해서 알아봤었죠 

 

사인으로 변화하는 그러한 함수가 매우 중요합니다. 

몇가지 이유가 있는데 사인 신호를 만들기에 용이하고

임의의 시간에 대해서 변화하는 함수라고 할때 

주기적으로 변화하는데 사인이 아니다. 그래도 푸리에 시리즈나 트랜스폼으로 

사인함수의 합으로 슈퍼포지션으로 표현할수 있다는것입니다. 

임의의 함수에 대해서도 표현할 수 있다는것 입니다. 

왜 더 유리한가

 

주파수가 있고 소스가 있고 레스폰스가 있는데

막스웰 방정식은 선형이기 때문에 

선형시스템이 무엇인가?

중첩- 수퍼포지션 x1에 대해서 y1이 나오고 

y1은 f에 x1이 되겠죠 x2가 들어가면 y2가 나오고

x1+x2=>f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

그래프로 그리면 

선형으로 표현될 경우에 x가 2배가 되면 y가 두배가 되고~

 

선형시스템인데 y=ax

y=a1x+a2x^2==> 선형시스템이 아니다. 

 

소스의 주파수가 반응도 E와 H도 같은 주파수로 나타난다.

선형시스템에서 중요한 점입니다.

 

비선형시스템이 되면 x의 자승항이 들어가게 되면 

주파수가 바뀔 수 있다.

하모닉스가 나올 수 있다. 

비선형시스템을 이용하면 주파수 변환이라던지 ~

 

야간에 어떤 물체가 있으면 야간에는 빛이 없고 적외선만 있는데

적외선은 주파수가 낮죠. 

믹서 같은 경우에 곱하기로 하는데 합주파수 차이 주파수 

다양한 형태의 주파수가 나올 수 있는데 

non leanear가 됩니다. ==>다이오드 같은 것들~ 

전압이 바뀌면 전류는 선형으로 나타나지 않죠 

 

임의의 타임 디펜던스르 가졌을 때 다양한 컴퍼넌트를 중첩시켰을때

레스폰스를 중첩시킬 수 있다. 

타임 하모닉을 쓰는 이유는 시간에 대해서 

사인 코사인 함수에 대해서 타임하모닉이다' 라고 말합니다. 

소스와 레스폰스가 있다 이렇게 생각하면 됩니다.

페이저는

소스와 레스폰스가 있는데 선형에서는 주파수가 갖죠

전류를 전압을 가했을 때 전류가 나타는데 

I는 주파수가 같아서 전압 v를 Ecos(wt)라고 했을때 

전류가 나타는데 주파수가 같다.

전류와 위상이 되는데 전류 I는 

전류와 위상은 모르지만 오메가는 알고 있죠

 

페이저라고 하는것은 위에 썼던 I를 다시 쓸 수 있는데 

크기와 위상을 포함하는 

Iej를 페이저라고 한다.

페이저는 타임 도메인이 아니고 

리얼 function이 아니고 타임 도메인의 주파수를 알고 있을 경우에

크기와 위상으로 나타내는 페이저로 나타낼 수 있는것입니다.

 

서로 왔다 갔다 할 수 있다.

 

페이저를 사용하면 여러가지 유리한점이 있다.

페이저 도메인에서 계산이 가능하고 

푸리에 트렌스폼을 사용가능

 

표현식은 두가지가 있습니다. j대신 -i를 이용해서 표현할 수 있습니다.

 

페이저와 타임 도메인의 타임 하모닉 신호를 페이저로 트랜스폼할 수 있다는것입니다.

 

페이저를 썻을 경우에 얼만큼유리한지 봅시다

 

 전류를 가했을 때 e(t)가 얼마가 되겠는가.

키르히호프 법칙을 이용해서 회로식을 세우고 

V에 대해서 쓰고 wt는 정해져 있고 I와 파이가 언노운이고 

I와 파이를 구해내려고 하는데 쉽지가 않습니다

 

거기에 비해서 페이저는..

전류 I에 대한 식을 보면 미분과 적분했을때

페이저 도메인에서 어떻게 변화하는지 봐야할것 같다. 

di/dt에 대해서 wI가 크기 90+파이==>위상 

 

원래 페이저에 jw를 붙이면 미분이 된다!

 

앞에서 봤을 때 페이저에서는 jw를 곱해주면되고

적분식에서는 jw로 나눠주면 됩니다.

 

시간에 대한 미분이 미분방정식인데 이것을 풀 때

jw로 바뀌게 됩니다.

페이저 도메인에서는 미분방정식 대신 대수식으로 쓸 수 있습니다.

 

 d^2/dt=>(jw)^2=-w^2

 

전자기학에서는 물리학하는 사람들도 깊히있는 연구를 합니다.

물리학에서는 jw가 -iw로 씁니다 (참고하세용)

 

페이저 도메인에서 앞서 했던 미분방정식

1차 미분은 jw를 곱해주면 바로 미분대신에 곱해주면된다.

 

페이저를 이용할 때 기본전제는 

주파수가 같을 때 위상과 크기만 고려할 때 

페이저 도메인에서는 대수식으로 바뀐다.

 

타임하모닉은 일반적인 신호들도 처리하기 위해서 존재한다. 

 

쉬운 문제를 봅시다. 

 

사인함수로 표현된 값을 구해봐라 

페이저를 이용해서 구해봐라 

사인함수는 이메지너리를 사용하게 됩니다.

사인베이스는 이메지너리로 정의한다.

-4/3과 3/-4 는 크기는 같지만 

위치가 다름

 

페이저로 표현한다음에 크기와 위상으로 표현할 수 있다.

대부분은 코사인으로 하지만 사인 베이스로 표현하는 책도 있다.

 

필드 벡터도 타임 하모닉으로 페이저로 표현할 수 있다

벡터 필드에 대한 페이저 형태에 대해서 알아 봅시다. 

 

포지션의 함수이면서 타임의 함수가 되는데 

시간영역에서 코사인 함수로 변화한다고 했을때 

E0와 E(xyz)에 대해서 

 

페이저가 벡터가 되는것이죠 

방향이 있고 크기가 있고 위상이 있는 

표현식이 E에 볼드 페이스 

t를 표현하고 있으면 타임 도메인 

없으면 페이저다 라고 생각하면 됩니다.

 

페이저를 보면 포지션의 함수이면서 컴플렉스 넘버가 되겠죠

타임 도메인에서 jw로 2차는 -w^2~

 

페이저 도메인에서 맥스웰 방정식을 새로 쓸 수있는데 

-jw로 바꿔서 위와 같이 표현이 가능한거죠 

두번째 식도 마찬가지

 

페이저 도메인에서 문제를 풀고 타임도멘인으로 언제든지 변환을 시킬 수 있다.

 

미분방정식이 페이저 도메인에서는 포지션에 대해서만 풀어주면 된다.

 

포텐셜함수들이 wave equation을 만족을 했었는데 

포지션과 타임에 대한 미분이 있었는데 

타임에 대한 미분이 -jw으로 바뀌게 될것입니다.

 

그래서 wave equation에 대해서 -jw으로 바꾸게 되면 

뮤입실론으로 바꾸게 되면 

k자승으로 바꿀 수 있다. 

헬롬홀츠는 time도메인에서 웨이브 equation이 됩니다

k가 굉장히 중요한데 

파동에 대해서 wavenumber를 파수라고 하는데

2파이/람다=>나중에 봅시다 ^^

 

파동에서 굉장히 중요하다는것만 알고 계세요

 

로렌츠 컨디션도 위와 같이 다시 쓸 수가 있습니다.

앞으로는 타임하모닉 문제를 다뤄서 위의 식들을 잘 이해하면 되겠습니다.

 

파동방정식의 솔루션을 얘기했었는데 

소스가 시간에 대해서 변화하면 관측점에서는 지연 리스폰스로 나타난다고 했죠

사이노소디얼하면 리스폰스는 어떨까?

 

레스폰스는 관측점에서 페이저 도메인에서 어떻게 표현이 될까 

R이라는 거리만큼 떨어져 있을 때 

로티분에 로티 -r만큼 표현이 되고 

코사인 함수로 변화하고 있고 

T대신에 지연 포텐션으로 나타나는데 이것을 페이저로 표현한다면 어떻게 될까요?

페이저로 표현하게 되면

원래 원점에서 소스에다가 페이저에 관한 식을 보면 

위상이 -kR 만큼 딜레이가 된다.

레스폰스는 지연이 되서 나타나긴 하지만  

타임 도메인에서 보면 딜레이가 되서 나타나지만 

-kR 위상 딜레이가 추가 되서 나타난다는것을 알아야합니다.

 

지연이 되는것이 결국에는 -jkR로 나타난다는것을 알 수 있습니다.

이러한 식들이 적분을 해서 이러한 형태로 스칼라 포텐셜을 쓸 수있고 

위상 지연으로 쓸수 있다는것을 알 수 있습니다.

k는 오메가/c가 되는데 k를 다른식으로도 표현가능하다.

 

kR만큼 위상지연이 일어나는데 kR이 매우 작을경우 

파장이 매우길경우 주파수가 매우 낮다. 

static과 거의 같게 되는데 

그럴 경우 quasi-static-field라고 합니다.

static에 가깝게 나타나게 됩니다.

 

시간영역에서 파동 포텐셜은 지연리스폰스로 나타나게 되는데

페이저에서의 지연 리스폰스는 어떻게 나오는지

페이저의 파동방정식의 솔루션은 어떻게 나오는지 써서 내세요

타임영역에서는 지연포텐셜로 나타나니까 

타임 하모닉 function일 경우에 페이저에서는 타임 도메인이 되고 

위상 딜레이로 나타나게 된다는것을 확인할 수 있습니다.

전하 또는 전류 소스가 있을 경우에 

전기장을 구하게 되는데 

v나 a를 구하게 되고 

j로 부터 A를 구하겠죠 

B로 부터 E를 구할 수도 있죠.

 

A로부터 B를 구하고 E를 구하기도 한다.

E와 페이저 도메인에 E와 H를 구하게 되면 

페이저 도메인의 솔루션을 다루는 문제를 주로 합니다.

 

소스 프리 영역에 전기장

j와 로우가 0가 되고 

시그마도 0으로 가정하면 

막스웰 방정식을 보면 4개의 식으로 쓸 수가 있습니다. 

 

이식으로부터 파동 방정식을 얻을 수 있습니다. 

컬을 취해보면 오른쪽이 자기장이 되고 

시그마가 로우가 0라고 했으니까 

헬롬홀츠 equation이 된다. 

소스가 없는 영역에서 

페이저에서는 파동방정식에 해당하는것이 헬롬홀츠 eq.가 된다.

 

자기장에서도 두번째 equation에 curl을 취하면 얻을 수 있다.

 

상대성에 대해서 이야기 해보죠

막스웰 equation을 보면

curl E=-jwuH가 되고 

curl H = jweE가 되는데

쌍대 이론을 배우면 위와 아래를 서로 변환할 수 있습니다.

 

첫번째 equation에서 

 

서로 변환이 가능하다! 

 

컨덕팅 미디움에 전기장이 가해지면 전류가 흐르게 되겠죠

 

막스웰 방정식을 이용해서 식을 쓰게 되면 시그마가 있다

로스가 있으면 입실론 대신에 입실론 c를 써서 같은 식으로 문제를 풀 수 있다.

시그마가 있다=>로스가 있다=>허수부가 추가가 된다. 

이것을 '복소유전율'이라고 부른다.

 

프리차지가 이동을 하면서 열이 발생해서 로스가 발생한다=>시그마를 얘기했죠

프리차지가 없다하더라도 미디움에 AC를 가하게 되면 

분극이 발생하게 되겠죠 

AC를 가하게 되면 주파수를 높여주면 분극의 극성이 바뀌게 되겠죠

주파수가 굉장히 높아지게 되면 분극이 빠르게 바뀌어야 하는데

fractional damping이 일어난다=>마찰열이 발생해서 파워 로스가 발생한다.

그래서 이것이 허수부분, 파워 로스를 일으켜서 damping 로스가 있다고 말합니다.

permittivity가 나타나게 된다. 

전류가 흘러서 발생하는 로스를 얘기를 하게 되는데 

뎀핑 로스를 포함해서 얘기하는데 

뎀핑과 오믹 로스가 복소 유전율의 허수부를 구성을 하게 된다.

 

입실론 프라임은 입실론이 되고 

두가지를 합치게 되면 대부분이 오믹로스가 됩니다

 

k도 complex로 바뀌게 됩니다.

k가 타임 하모닉에서 소스가 있고 

소스로부터 떨어져있으면 지연포텐셜로 타임 도메인으로 나타나는데

타임하모닉이면 위상 지연으로 나타난다고 했죠 

만약 k가 리얼이면 위상의 지연만 나타나게 됩니다. 

하지만 k가 허수부가 있으면 e^-jkR이 되구요 j가 없어지게 될겁니다?

k의 리얼 파트는 여전히 위상 딜레이만 주게 되는데 

이메지너리 파트는 크기의 변화를 주게 됩니다.

로스에 의해서 amplitude가 줄어든다. 

 

위상 변화 + 진행를 하면서 크기가 exponential하게 줄어든다.

이것을 '감쇠'라고 부릅니다. 

 

진행을 하면서 열이 나게 되고 

전기장은 점점 감쇠하게 됩니다.

k가 복소수로 나타나는것은 파동이 진행하면서 줄어들게 된다.

허수부분에 의해서 전기장은 줄어들고 파워로스가 일어나서 손실이 일어난다.

 

미디움이 있는데 시그마의 크기에 따라서 특성이 달라진다.

그래서 로스 탄젠트로 표현하게 됩니다.

로스탄젠트가 매우 크면 굿 컨덕터 작으면 굿 인슐레이터

 

기판이 있는데 기판의 로스가 없어야 겠죠 

high frequency에서는 굉장히 중요합니다.

 

substrate나 물질을 표현할 때 로스 탄젠트로 표현이 되겠죠

 

주파수에 따라서 로스 탄젠트가 어떻게 되는가를 살펴보자.

10GHz로 높였을 때 1KHz일때 특성이 많이 차이 난다.

 

파워 로스를 계산해보도록 하면 

단위 체적당 소모되는 전력이 얼마인가?

시그마를 구해줄 때 

시그마를 구해서 소모되는 전력은 시그마^E^2=4.34 (W/m^3)

 

주파수를 2.45 Ghz 

마이크로 오븐에서 얼마나 열이 일어날까?

스테이크의 로스 탄젠트는 높고 

주파수가 높아지면 전기장이 표면에서는 크다가 내부에서는 작아지게 됩니다.

표피 두께 쪽에 열이 발생하게 됩니다.

이러한점은 주의하세요. 

표피 두께를 고려해야한다.

 

주파수 스펙트럼에 대한 표입니다.