[가우스 법칙] [푸아송 법칙][라플라시안]

유한요소법에 대해 설파하기 전에 푸아송 방정식 먼저 풀게 되는데 

그전에 가우스 법칙에 대해서 알아보자 

 

Gauss' law

폐곡면(가우스 면)을 임의로 잡았을 때 가우스면을 통과하는 전기선속(F)은 위와 같이 주어진다.

qenc는 가우스면 안(in)에 든 총 전하량이고, ε0는 진공에서의 유전율이다.

 

유전율이란 무엇인가

유전체의 경우 전류가 직접적으로 흐르지 않고 외부에서 전기장을 걸면 전하가 내부에서 편극되는 현상을 보이는데, 이 편극의 정도가 얼마나 되느냐가 유전율의 척도이며, 그러한 관점에서 부도체를 곧 '유전체'라고 쓰기도 하며, 엡실론(ε)으로 나타낸다.

E 는 전기장이고, da는 가우스면에 수직하고 면적이 da인 면적소 벡터이다.

면적소 벡터의 방향은 어떤 면적소의 영역에 수직하다.

프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다. [3]  이 전기장에 면적을 곱한 것 [4] 이 전기선속 [5] 이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기선속 값이라는 것이다. -wiki

가우스 면을 통과하는 전기선속은 가우스 면 안에 든 전하의 양에 비례한다는 것을 알 수 있다.

어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속(electric flux)에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.

 

발산정리를 이용해서 미분형으로 정리할 수 있는데 

 

발산정리(divergence theorem)/가우스 정리

폐곡면 S를 통해 나가는 벡터장 A의 총선속은 A의 발산을 체적적분한 것과 같다.

 

가우스 법칙에 적용해서 미분형을 유도해보자. 

전하밀도

전기장의 발산의 원천은 전하임을 알 수 있다.

가우스 법칙은 맥스웰의 첫 번째 식이다. 

 

푸아송 방정식

푸아송 방정식은 가우스 법칙의 변형 형태라고 생각하면 쉽다. 

전위의 기울기는 전기장의 세기와 같다. 그것을 이용해서 가우스 법칙을 표현하면 푸아송 방정식이 된다. 우변이 0이되면 '라플라스 방정식' 이라고 부른다.